高校数学「微分」放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に原点から引いた接線

高校数学「微分」放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に原点から引いた接線

■　問題

放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。

接線なのでまずは微分します。

ｙ'＝２ｘ−３

接点の座標はわかっていないので、接点のｘ座標を例えばａとします。
すると、接点の座標は(ａ，ａ²−３ａ＋４)で、接線の傾きは２ａ−３ですね。

そのような直線の方程式は、

ｙ−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(ｘ−ａ)

となります。
原点から引いた接線を考えるので、この式のｘ，ｙには０，０を入れることができます。

０−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(０−ａ)
−(ａ²−３ａ＋４)＝−ａ(２ａ−３)
−ａ²＋３ａ−４＝−２ａ²＋３ａ
ａ²−４＝０
(ａ＋２)(ａ−２)＝０
よって、ａ＝−２，２

つまり、接点のｘ座標は−２の場合と２の場合がある。ということになります。

それぞれｙ−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(ｘ−ａ)に代入してみれば、接線の方程式が出るはずですね。

ａ＝−２のとき
ｙ−((−２)²−３×(−２)＋４}＝{２×(−２)−３}(ｘ−(−２)}
ｙ−(４＋６＋４)＝−７(ｘ＋２)
ｙ−１４＝−７ｘ−１４
ｙ＝−７ｘ

ａ＝２のとき
ｙ−(２²−３×２＋４)＝(２×２−３)(ｘ−２)
ｙ−(４−６＋４)＝ｘ−２
ｙ−２＝ｘ−２
　　ｙ＝ｘ

よって、求める接線はｙ＝−７ｘ，ｙ＝ｘ


◆関連項目
直線の式、接線の方程式の求め方
微分積分(数学２)まとめ
微分積分(数学３)まとめ


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