2023年12月04日

高校数学「積分」y=x^2+xとy=2で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=x2+xとy=2で囲まれた図形の面積

■ 問題

y=x2+xとy=2で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y=x2+xとy=2で囲まれた図形の面積

放物線とx軸に平行な直線の間の図形の面積を考えます。

この放物線は下に凸なので、放物線が下、直線が上となります。
つまり面積は、「直線−放物線で定積分」で求めることができます。

積分の区間を求めるために、まずはこれら2つの関数の共有点を求めましょう。
関数の交点なら連立方程式ですね。

2+x=2
2+x−2=0
(x+2)(x−1)=0
よって、x=−2,1

つまり、−2〜1の区間で定積分を計算すれば、それが面積になる。というわけです。

S=∫[-2〜1](2−x2−x)dx
 =[−(1/3)x3−(1/2)x2+2x][-2〜1]
 =−(1/3)−(1/2)+2−{−(1/3)・(−2)3−(1/2)・(−2)2+2・(−2)}
 =−1/3−1/2+2−(8/3−2−4)
 =−1/3−8/3−1/2+2+6
 =−3−1/2+8
 =9/2


◆関連項目
y=x2+x−4とy=3x−1で囲まれた図形の面積
微分積分(数学2)まとめ

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ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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