高校数学「積分」放物線ｙ＝２ｘ^2＋３ｘと直線ｙ＝ｘ＋１で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」放物線ｙ＝２ｘ²＋３ｘと直線ｙ＝ｘ＋１で囲まれた図形の面積

■　問題

放物線ｙ＝２ｘ²＋３ｘと直線ｙ＝ｘ＋１で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

放物線と直線の間の図形の面積を考えます。

この放物線は下に凸なので、放物線が下、直線が上となります。
つまり面積は、「直線−放物線で定積分」で求めることができます。

積分の区間を求めるために、まずはこれら２つの関数の共有点を求めましょう。
関数の交点なら連立方程式ですね。

２ｘ²＋３ｘ＝ｘ＋１
２ｘ²＋２ｘ−１＝０

ｘ＝[−２±√{２²−４×２×(−１)}]／(２×２)
　＝{−２±√(４＋８)}／４
　＝(−２±√１２)／４
　＝(−２±２√３)／４
　＝(−１±√３)／２

つまり、(−１−√３)／２から(−１＋√３)／２の区間で定積分をすればＯＫです。
ただし、そのまま計算すると大変なので、とりあえずこれらの値をα，βとして、式を整理してから計算してみます。

Ｓ＝∫[α〜β]{ｘ＋１−２ｘ²−３ｘ}ｄｘ
　＝∫[α〜β]{−２ｘ²−２ｘ＋１}ｄｘ
　＝[−(２／３)ｘ³−ｘ²＋ｘ][α〜β]
　＝−(２／３)β³−β²＋β−{−(２／３)α³−α²＋α}
　＝−(２／３)(β³−α³)−(β²−α²)＋(β−α)}

ここで、β−αなどを計算しておきます。

β−α＝(−１＋√３)／２−(−１−√３)／２＝√３
β＋α＝(−１＋√３)／２＋(−１−√３)／２＝−１
βα＝{(−１＋√３)／２}×{(−１−√３)／２}＝(１−３)／４＝−１／２
β²−α²＝(β＋α)(β−α)＝−√３
β²＋α²＝(β＋α)²−２βα＝１＋１＝２
β³−α³＝(β−α)(β²＋βα＋α²)＝√３(２−１／２)＝３√３／２

これらをそれぞれ代入すると、

　＝−(２／３)×３√３／２−(−√３)＋√３
　＝−√３＋２√３
　＝√３

正直にやったので計算が大変でしたが、このように放物線と直線の間の面積は、もっと簡単に出せる公式があります。
それについてはこちらの記事をご覧ください。


◆関連項目
ｙ＝ｘ²＋ｘ−４とｙ＝３ｘ−１で囲まれた図形の面積
微分積分(数学２)まとめ

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