■ 問題
初項が７０，公差が－４の等差数列がある。初項から第何項までの和が最大になるか求めよ。
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■ 解答解説
和について考えるので、まずは等差数列の和の公式を使います。
Ｓn＝(ｎ／２){２ａ＋(ｎ－１)ｄ}
これに、ａ＝７０，ｄ＝－４を代入すると、
Ｓn＝(ｎ／２){２×７０＋(ｎ－１)(－４)}
＝(ｎ／２)(１４０－４ｎ＋４)
＝(ｎ／２)(１４４－４ｎ)
＝７２ｎ－２ｎ2
第ｎ項までの和は表すことができました。
あとはコレの最大値を考えます。
ｎについての２次式なので、２次関数の最大のやり方と同様のことを考えます。
つまり、平方完成して頂点を求める。ということですね！
Ｓn＝－２ｎ2＋７２ｎ
＝－２(ｎ2－３６ｎ)
＝－２{(ｎ－１８)2－１８2}
＝－２(ｎ－１８)2－２×(－３２４)
＝－２(ｎ－１８)2＋６４８
というわけで、Ｓnは、ｎ＝１８のとき最大値６４８となります。
今回の問題では、最大になるときの項数のみを聞いているので、解答は「第１８項」です。
◆関連項目
等差数列
数列まとめ
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ラベル：数学
