高校数学「積分」放物線ｙ＝２ｘ2＋３ｘと直線ｙ＝ｘ＋１で囲まれた図形の面積�A

高校数学「積分」放物線ｙ＝２ｘ²＋３ｘと直線ｙ＝ｘ＋１で囲まれた図形の面積�A

■　問題

放物線ｙ＝２ｘ²＋３ｘと直線ｙ＝ｘ＋１で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

以前の記事で、普通に定積分を計算した場合の解き方を掲載しました。
この記事では、簡単な公式を使った場合を解説します。
放物線と直線で囲まれた図形の面積は、

Ｓ＝(ａ／６)(β−α)³

で求めることができます。
ａは２次関数ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃのａで、α，βは放物線と直線の交点のｘ座標で、α＜βです。

交点は連立方程式なので、解いてみると、

２ｘ²＋３ｘ＝ｘ＋１
２ｘ²＋２ｘ−１＝０

ｘ＝[−２±√{２²−４×２×(−１)}]／(２×２)
　＝{−２±√(４＋８)}／４
　＝(−２±√１２)／４
　＝(−２±２√３)／４
　＝(−１±√３)／２

よって、α＝(−１−√３)／２，β＝(−１＋√３)／２となります。

先ほどの公式に、ａ＝２，α＝(−１−√３)／２，β＝(−１＋√３)／２を代入すると、

Ｓ＝(２／６){(−１＋√３)／２−(−１−√３)／２}³
　＝(１／３){(−１＋√３)／２＋(１＋√３)／２}³
　＝(１／３)・√３³
　＝(１／３)・３√３
　＝√３

というわけで、普通に定積分を計算した場合よりも、かなり簡単に計算することができました。


◆関連項目
ｙ＝ｘ²＋ｘ−４とｙ＝３ｘ−１で囲まれた図形の面積
微分積分(数学２)まとめ

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