高校数学「数列」Σの基本的な計算�@

高校数学「数列」Σの基本的な計算�@

■　問題

次の和を求めよ。
　　n
�@　Σ(２ｋ＋３)
　　k=1

　　n
�A　Σ(ｋ²＋ｋ)
　　k=1


解答解説はこのページ下に。
「そもそもΣの公式がわからないよ！」という人は、まずはこちらをご覧ください。


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■　解答解説

Σの公式を使った基本的な問題です。
それぞれ公式を使って書き直すだけですが、解答は普通は因数分解した形で答えます。
そのために、共通因数でくくることを優先して変形していきます。

　　n
�@　Σ(２ｋ＋３)
　　k=1
＝２・(ｎ／２)(ｎ＋１)＋３ｎ
＝ｎ(ｎ＋１)＋３ｎ
＝ｎ²＋ｎ＋３ｎ
＝ｎ²＋４ｎ
＝ｎ(ｎ＋４)

　　n
�A　Σ(ｋ²＋ｋ)
　　k=1
＝(１／６)ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)＋(１／２)ｎ(ｎ＋１)

この場合も、いったん展開してまとめても構わないのですが、３次式になってしまうので、この時点で共通因数でくくる方が良いです。
(１／６)ｎ(ｎ＋１)でくくります。

＝(１／６)ｎ(ｎ＋１){(２ｎ＋１)＋３}
＝(１／６)ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋４)
＝(１／６)ｎ(ｎ＋１)・２(ｎ＋２)
＝(１／３)ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)





◆関連項目
Σの公式、等差数列
数列まとめ


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