【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数２Ｂより
第２問
[2]
(1) 定積分∫[0～30]{(１／５)ｘ＋３}ｄｘの値は[タチツ]である。
また、関数(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５の不定積分は
∫{(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５}ｄｘ
＝(１／[テトナ])ｘ^3－(１／[ニヌ])ｘ^2＋[ネ]ｘ＋Ｃ
である。ただし、Ｃは積分定数とする。
(2) ある地域では、毎年３月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題に
なる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、２月に入ってから
の気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを
知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図１の６時間ごとの
気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考えることにした。
図１はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b22a.png
図１ ６時間ごとの気温の折れ線グラフ
ｘの値の範囲を０以上の実数全体として、２月１日午前０時から２４ｘ時間経った
時点をｘ日後とする。(例えば、１０．３日後は２月１１日午前７時１２分を表す。)
また、ｘ日後の気温をｙ℃とする。このとき、ｙはｘの関数であり、これを
ｙ＝ｆ(ｘ)とおく。ただし、ｙは負にはならないものとする。
気温を表す関数ｆ(ｘ)を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の[設定]で
考えることにした。
┌―[設定]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 正の整数ｔに対して、ｆ(ｘ)を０からｔまで積分した値をＳ(ｔ)とする。 ｜
｜すなわち、Ｓ(ｔ)＝∫[0～t]ｆ(ｘ)ｄｘとする。このＳ(ｔ)が４００に到達した｜
｜とき、ソメイヨシノが開花する。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[設定]のもと、太郎さんは気温を表す関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフを図２のように直線と
みなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
図２はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b22b.png
図２ 図１のグラフと、太郎さんが直線とみなしたｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ
(i) 太郎さんは
ｆ(ｘ)＝(１／５)ｘ＋３ (ｘ≧０)
として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は２月に入ってから[ノ]となる。
[ノ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ３０日後 {1} ３５日後 {2} ４０日後 ｜
｜{3} ４５日後 {4} ５０日後 {5} ５５日後 ｜
｜{6} ６０日後 {7} ６５日後 ｜
└――――――――――――――――――――――――┘
(ii) 太郎さんと花子さんは、２月に入ってから３０日後以降の気温について話を
している。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：１次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。 ｜
｜花子：気温の上がり方から考えて、２月に入ってから３０日後以降の気温を ｜
｜ 表す関数が２次関数の場合も考えてみようか。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
花子さんは気温を表す関数ｆ(ｘ)を、０≦ｘ≦３０のときは太郎さんと同じように
ｆ(ｘ)＝(１／５)ｘ＋３ ……{1}
とし、ｘ≧３０のときは
ｆ(ｘ)＝(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５ ……{2}
として考えた。なお、ｘ＝３０のとき{1} の右辺の値と{2}の右辺の値は一致する。
花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より
∫[0～30]{(１／５)ｘ＋３)ｄｘ＝[タチツ]
であり
∫[30～40]{(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５}ｄｘ＝１１５
となることがわかる。
また、ｘ≧３０の範囲においてｆ(ｘ)は増加する。よって
∫[30～40]ｆ(ｘ)ｄｘ[ハ]∫[40～50]ｆ(ｘ)ｄｘ
であることがわかる。以上よりソメイヨシノの開花日時は２月に入ってから[ヒ]と
なる。
[ハ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ＜ {1} ＝ {2} ＞ ｜
└――――――――――――――――――――――――┘
[ヒ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ３０日後より前 ｜
｜{1} ３０日後 ｜
｜{2} ３０日後より後、かつ４０日後より前 ｜
｜{3} ４０日後 ｜
｜{4} ４０日後より後、かつ５０日後より前 ｜
｜{5} ５０日後 ｜
｜{6} ５０日後より後、かつ６０日後より前 ｜
｜{7} ６０日後 ｜
｜{8} ６０日後より後 ｜
└――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
微分積分の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html
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■ 解説目次
◆１ 積分は微分の逆
◆２ 交点なら連立方程式
◆３ 基本的な不定積分の計算
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ 基本的な定積分の計算
では今回の問題です。
(1) 定積分∫[0～30]{(１／５)ｘ＋３}ｄｘの値は[タチツ]である。
まずはコレを計算します。
定積分の計算は、「指数を１増やして、もとの指数＋１の逆数をかける」そして、
「代入して引き算する」という手順です。
∫[0～30]{(１／５)ｘ＋３}ｄｘ
＝[(１／５)(１／２)ｘ^2＋３ｘ][0～30]
＝[(１／１０)ｘ^2＋３ｘ][0～30]
＝(１／１０)・３０^2＋３×３０－０
＝９０＋９０
＝１８０
よって、[タチツ]＝１８０
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◆３ 基本的な不定積分の計算
次は、「関数(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５の不定積分」を計算します。
やはり、「指数を１増やして、もとの指数＋１の逆数をかける」操作をします。
∫{(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５}ｄｘ
＝(１／１００)(１／３)ｘ^3－(１／６)(１／２)ｘ^2＋５ｘ＋Ｃ
＝・・・
(以下略)
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ラベル：数学
