高校数学「数列」Σの基本的な計算�A

高校数学「数列」Σの基本的な計算�A

■　問題

次の和を求めよ。
　　n
�B　Σ(ｋ³−ｋ)
　　k=1

　　n
�C　Σ２・３^k-1
　　k=1


解答解説はこのページ下に。
「そもそもΣの公式がわからないよ！」という人は、まずはこちらをご覧ください。


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■　解答解説

Σの公式を使った基本的な問題です。
それぞれ公式を使って書き直すだけですが、解答は普通は因数分解した形で答えます。
そのために、共通因数でくくることを優先して変形していきます。

　　n
�B　Σ(ｋ³−ｋ)
　　k=1
＝{(ｎ／２)(ｎ＋１)}²−(ｎ／２)(ｎ＋１)
＝(ｎ／２)(ｎ＋１){(ｎ／２)(ｎ＋１)−１}
＝(ｎ／４)(ｎ＋１){ｎ(ｎ＋１)−２}
＝(ｎ／４)(ｎ＋１)(ｎ²＋ｎ−２)
＝(ｎ／４)(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ−１)

　　n
�C　Σ２・３^k-1
　　k=1
これは等比数列なので、普通に等比数列の和の公式を使います。
初項２，公比３なので、

＝２(３ⁿ−１)／(３−１)
＝２(３ⁿ−１)／２
＝３ⁿ−１





◆関連項目
Σの基本的な計算�@
Σの公式、等比数列
数列まとめ


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