■ 問題
次の数列の第ｋ項ａk、初項から第ｎ項までの和Ｓnを求めよ。
１，１＋２，１＋２＋２2，１＋２＋２2＋２3，……
解答解説はこのページ下に。
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■ 解答解説
数列を確認すると、それぞれの項が数列の和になっています。
例えば第３項は、１＋２＋２2ですね。
これは、初項１，公比２の等比数列の第３項までの和とみることができます。
ならば第ｋ項は、初項１，公比２の第ｋ項までの和ですね。
つまり、
ａk＝１(２k－１)／(２－１)
＝２k－１
そして、この数列の第ｎ項までの和は、これを一般項とする数列の和です。
つまり、
n
Ｓn＝Σ(２k－１)
k=1
この式が表すのは、第ｋ項が２kで表される数列と、一般項が－１の数列の和です。
２kの数列はつまり、初項が２，公比が２の数列だから、
Ｓn＝２(２n－１)／(２－１)＋(－１)ｎ
＝２・２n－２－ｎ
＝２n+1－ｎ－２
◆関連項目
Σの基本的な計算①
Σの公式、等比数列
数列まとめ
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