2023年12月26日

本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学1A第4問

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学1A第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2023年共通テスト数1Aより

第4問

 色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた
長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついて長方形は十分
あるものとする。

(1) 横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて
正方形や長方形を作ることを考える。

     462
    ┌―――┬―――┬―――――――――┬―――┐
 110| 赤 | 赤 |   ・・・   | 赤 |
    ├―――┼―――┼―――――――――┼―――┤
    | 赤 | 赤 |   ・・・   | 赤 |
    ├―――┼―――┼―――――――――┼―――┤
    |   |   |         |   |
    |   |   |         |   |
    | ・ | ・ |   ・     | ・ |
    | ・ | ・ |    ・    | ・ |
    | ・ | ・ |     ・   | ・ |
    |   |   |         |   |
    |   |   |         |   |
    ├―――┼―――┼―――――――――┼―――┤
    | 赤 | 赤 |   ・・・   | 赤 |
    └―――┴―――┴―――――――――┴―――┘

 462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは[アイ]である。
 赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小である
ものは、一辺の長さが[ウエオカ]のものである。

 また、赤い長方形を並べて正方形でない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さ
の差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が
[キク]になるときであることがわかる。
 縦の長さが横の長さより[キク]長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、
横の長さが[ケコサシ]のものである。


(2) 花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を
作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上
並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。

図2はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a4.png

 このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べて
できる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さ
が最小のものは、縦の長さが[スセソ]のものであり、図2のような長方形は縦の
長さが[スセソ]の倍数である。

 二人は、次のように話している。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|花子:赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。|
|太郎:赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2の|
|   ような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さ|
|   でないといけないね。                       |
|花子:正方形だから、横の長さは[スセソ]の倍数でもないといけないね。   |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 462と363の最大公約数は[タチ]であり、[タチ]の倍数のうちで[スセソ]の倍数でも
ある最初の正の整数は[ツテトナ]である。

 これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上である
ことから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが
[ニヌネノ]のものであることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 数学1A第4問は「整数の性質」
 ◆2 「両方を割り切る」=「公約数」
 ◆3 比がわかれば、何個並べればよいかわかる

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 数学1A第4問は「整数の性質」

2023年共通テストも、数学1A第4問は、整数の性質に関する問題でした。

整数の性質で出題される事項は、

約数・倍数、公約数・公倍数
ユークリッドの互除法
不定方程式
n進法

などです。
この単元を使うつもりの人は、これらの事項をしっかりマスターしておきましょう!


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 ◆2 「両方を割り切る」=「公約数」

では最初の設問です。
「462と110の両方を割り切る素数のうち最大のもの」を求める問題です。

「両方を割り切る」ということは、公約数ですが、「素数」という指定が入っている
ことにも注意が必要です。

とりあえずは普通に公約数の求め方通りにやってみましょう!

 2)462 110
  ――――――――
11)231  55
  ――――――――
    21   5

公約数は例えば、2,11そしてこれらをかけた22ですね。

これらの中で最大の素数は11です。

よって、[アイ]=11

ちなみに、もちろんユークリッドの互除法でこれを求めることもできます。


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 ◆3 比がわかれば、何個並べればよいかわかる

続いて、「赤い長方形を並べて作ることができる正方形」のうち、
「辺の長さが最小であるもの」の一辺の長さを求めます。

「赤い長方形」は、横が462,縦が110でしたね。そしてこれらの最大公約数は
◆2の素因数分解からわかるように、22です。
だから、


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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