高校数学「積分」基本的な定積分の計算�A

高校数学「積分」基本的な定積分の計算�A

■　問題

次の定積分を求めよ。

(3) ∫[0〜1](ｘ²−２ｘ)ｄｘ＋∫[1〜3](ｘ²−２ｘ)ｄｘ

(4) ∫[-2〜4](ｘ²＋２ｘ)ｄｘ＋∫[-2〜4](２ｘ²−ｘ)ｄｘ


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

複数の定積分を含む式の場合、基本的には、「それぞれ計算して最後に合計」で問題ありません。
がしかし、積分は計算が面倒になることが多いので、積分の計算法則を利用して、できるだけ簡単に書き直してから計算した方がよいです。

(3) ∫[0〜1](ｘ²−２ｘ)ｄｘ＋∫[1〜3](ｘ²−２ｘ)ｄｘ

この場合、積分する式が同じで、区間が連続しているので、１つの積分にまとめることができます。
０から１と１から３だから、０から３にまとめることができる。というわけですね。

＝∫[0〜3](ｘ²−２ｘ)ｄｘ

あとは普通に計算します。

＝[(１／３)ｘ³−ｘ²][0〜3]
＝(１／３)・３³−３²−０
＝９−９
＝０


(4) ∫[-2〜4](ｘ²＋２ｘ)ｄｘ＋∫[-2〜4](２ｘ²−ｘ)ｄｘ

この場合は、積分の区間が全く同じです。
そんなときは、まず最初に式のみをまとめることができます。

＝∫[-2〜4](ｘ²＋２ｘ＋２ｘ²−ｘ)ｄｘ
＝∫[-2〜4](３ｘ²＋ｘ)ｄｘ

これで１つの定積分にまとめることができました。
あとは普通に計算します。

＝[ｘ³＋(１／２)ｘ²][-2〜4]
＝４³＋(１／２)・４²−{(−２)³＋(１／２)・(−２)²}
＝６４＋８−(−８＋２)
＝７２＋６
＝７８


◆関連項目
基本的な定積分の計算�@
微分積分(数学２)まとめ

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