高校数学「高次方程式」１の３乗根を使った式の値

高校数学「高次方程式」１の３乗根を使った式の値

◆問題

１の３乗根のうち虚数のものの１つをωとするとき、次の値を求めよ。

(1) ω²＋ω＋１

(2) ω⁶＋ω³＋１

(3) ω⁸＋ω⁴


解答解説はお知らせの下


★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、学校の授業の補習、定期テスト対策だけでなく、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。
従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解答解説

ωはつまり、ｘ³＝１の解のうちの１つです。
普通に解いてみると、

ｘ³−１＝０
(ｘ−１)(ｘ²＋ｘ＋１)＝０
よって、ｘ−１＝０，ｘ²＋ｘ＋１＝０です。

このうちｘ²＋ｘ＋１＝０の解の１つがωです。
２次方程式なので、普通に解の公式で解くと、

ｘ＝{−１±√(１²−４×１×１)}／(２×１)
　＝(−１±√３ｉ)／２

例えばω＝(−１＋√３ｉ)／２とすると、ω²＝(−１−√３ｉ)／２となります。
だから、ω²＋ω＝(−１−√３ｉ)／２＋(−１＋√３ｉ)／２＝−１です。

そして、ωは１の３乗根でもあるので、ω³＝１です。

これらを利用して、それぞれの式の値を求めていきます。

(1) ω²＋ω＋１
＝−１＋１＝０

(2) ω⁶＋ω³＋１
＝１＋１＋１＝３

(3) ω⁸＋ω⁴
＝ω²＋ω
＝−１


◆関連項目
高次方程式まとめ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−