2024年01月02日

本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学1A第5問

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学1A第5問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


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■ 問題

2023年共通テスト数1Aより

第5問

(1) 円Oに対して、次の[手順1]で作図を行う。

┌―[手順1]――――――――――――――――――――――――――――┐
|(Step 1) 円Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線lを引く。|
|    円Oと直線lとの交点をA,Bとし、線分ABの中点Cをとる。|
|(Step 2) 円Oの周上に、点Dを∠CODが鈍角となるようにとる。  |
|    直線CDを引き、円Oとの交点でDとは異なる点をEとする。 |
|(Step 3) 点Dを通り直線OCに垂直な直線を引き、直線OCとの交点を|
|    Fとし、円Oとの交点でDとは異なる点をGとする。     |
|(Step 4) 点Gにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をHとする。|
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

参考図→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a5.png


 このとき、直線lと点Dの位置によらず、直線EHは円Oの接線である。
このことは、次の[構想]に基づいて、後のように説明できる。

┌―[構想]―――――――――――――――――――――――――――――┐
| 直線EHが円Oの接線であることを証明するためには、       |
|∠OEH=[アイ]°であることを示せば良い。            |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 [手順1]の(Step 1)と(Step 4)により、4点C,G,H,[ウ]は同一円周上に
あることがわかる。よって、∠CHG=[エ]である。一方、点Eは円Oの周上に
あることことから、[エ]=[オ]がわかる。よって、∠CHG=[オ]であるので、
4点C,G,H,[カ]は同一円周上にある。この円が点[ウ]を通ることにより、
∠OEH=[アイ]°を示すことができる。

[ウ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
|{0} B  {1} D  {2} F  {3} O     |
└―――――――――――――――――――――――┘

[エ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} ∠AFC {1} ∠CDF {2} ∠CGH {3} ∠CBO {4} ∠FOG|
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[オ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} ∠AED {1} ∠ADE {2} ∠BOE {3} ∠DEG {4} ∠EOH|
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[カ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
|{0} A  {1} D  {2} E  {3} F     |
└―――――――――――――――――――――――┘


(2) 円Oに対して、(1)の[手順1]とは直線lの引き方を変え、次の[手順2]で
作図を行う。

┌―[手順2]――――――――――――――――――――――――――――┐
|(Step 1) 円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに |
|    垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。       |
|(Step 2) 円Oの周上に、点Qを∠POQが鈍角となるようにとる。直線|
|    PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。   |
|(Step 3) 点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQ |
|    とは異なる点をSとする。                 |
|(Step 4) 点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。|
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 このとき、∠PTS=[キ]である。

 円Oの半径が√5で、OT=3√6であったとすると、3点O,P,Rを通る
円の半径は([ク]√[ケ])/[コ]であり、RT=[サ]である。

[キ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} ∠PQS {1} ∠PST {2} ∠QPS {3} ∠QRS {4} ∠SRT|
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}
で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 平面図形の性質は、中学の内容も重要!
 ◆2 接線と半径は垂直に交わる
 ◆3 対角の和が180°なら頂点が同一円周上

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 接線と半径は垂直に交わる

では今回の問題です。

(1) 円Oに対して、次の[手順1]で作図を行う。

┌―[手順1]――――――――――――――――――――――――――――┐
|(Step 1) 円Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線lを引く。|
|    円Oと直線lとの交点をA,Bとし、線分ABの中点Cをとる。|
|(Step 2) 円Oの周上に、点Dを∠CODが鈍角となるようにとる。  |
|    直線CDを引き、円Oとの交点でDとは異なる点をEとする。 |
|(Step 3) 点Dを通り直線OCに垂直な直線を引き、直線OCとの交点を|
|    Fとし、円Oとの交点でDとは異なる点をGとする。     |
|(Step 4) 点Gにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をHとする。|
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

参考図→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a5.png

このように図を描くと、「直線lと点Dの位置によらず、直線EHは円Oの接線」
になります。

まずは、接線の性質を利用して、このことを証明していきます。
円と接線の性質のひとつに、「接線と接点に引いた半径は垂直に交わる」という
ものがあります。

つまり、これが成り立てば、EHがOの接線であることを証明できます。
∠OEH=90°を示すのが目標ですね。

よって、[アイ]=90


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 ◆3 対角の和が180°なら頂点が同一円周上

問題の誘導に従って、◆2の内容を述べていきましょう!

「[手順1]の(Step 1)と(Step 4)により」とあるので、これらを確認してみます。

|(Step 1) 円Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線lを引く。|
|    円Oと直線lとの交点をA,Bとし、線分ABの中点Cをとる。|

線分ABは弦なので、OCとABは垂直に交わります。


|(Step 4) 点Gにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をHとする。|

GHは接線なので、直線OGとGHは垂直に交わります。

∠OCH=∠OGH=90°なので、四角形CHGOに注目すれば、対角がどちらも


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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