◆問題
△ＡＢＣにおいて、Ａ＝６０°，ｃ＝３√２，外接円の半径Ｒ＝３のとき、残りの辺と角を求めよ。
↓解答解説はお知らせの下に↓
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◆解答解説
数学１Ａの三角比のノーマルな問題です。
いくつか角や辺が与えられて、残りの値を求めるときは、正弦定理や余弦定理を使います。
今回の問題では、外接円の半径がわかっているので、まずは正弦定理を使いましょう！
ａ／ｓｉｎＡ＝２Ｒに、Ａ＝６０°，Ｒ＝３を代入して、
ａ／ｓｉｎ６０°＝２×３
ａ／(√３／２)＝６
ａ＝６×√３／２＝３√３
ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒに、ｃ＝３√２，Ｒ＝３を代入して、
(３√２)／ｓｉｎＣ＝６
３√２＝６ｓｉｎＣ
ｓｉｎＣ＝(３√２)／６＝√２／２
よって、Ｃ＝４５°
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°だから、Ｂ＝１８０°－６０°－４５°＝７５°
これで３つの角が全てわかりました。
辺もａ，ｃの２つがわかっています。
７５°のサインの値は(数１の範囲では)出すことが難しいので、ａかｃで余弦定理を使って、残りのｂを出していきましょう！
例えば、ｃｏｓＡを使えば、
ａ2＝ｂ2＋ｃ2－２ｂｃ・ｃｏｓＡ
(３√３)2＝ｂ2＋(３√２)2－２ｂ・３√２・ｃｏｓ６０°
２７＝ｂ2＋１８－２ｂ・３√２・１／２
これでｂについての２次方程式ができました。
あとは普通に解いていきます。
まずは移項して、
ｂ2－３√２・ｂ－９＝０
因数分解はできなそうなので、解の公式で解きます。
ｂ＝[－(－３√２)±√{(－３√２)2－４×１×(－９)}]／２×１
＝{３√２±√(１８＋３６)}／２
＝(３√２±√５４)／２
＝(３√２±３√６)／２
ｂ＞０だから、ｂ＝(３√２＋３√６)／２＝３(√２＋√６)／２
よって、ａ＝３√３，ｂ＝３(√２＋√６)／２，Ｂ＝７５°，Ｃ＝４５°
◆関連項目
ｂ＝１５，ｃ＝１５√３，Ａ＝３０°の△ＡＢＣの残りの辺の長さと角の大きさ
三角比まとめ
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