2024年01月26日

本日配信のメルマガ。2024年共通テスト数学1A第1問[2]完成

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学1A第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2024年共通テスト数1Aより

第1問

[2] 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて、37ページの三角比の
表を用いてもよい。

(ブログに三角比の表を掲載しました)
http://a-ema.seesaa.net/article/502148555.html

 水平な地面(以下、地面)に垂直に立っている電柱の高さを、その影の長さと
太陽高度を利用して求めよう。

 図1のように、電柱の影の先端は坂の斜面(以下、坂)にあるとする。また、坂には
傾斜を表す道路標識が設置されていて、そこには7%と表示されているとする。
 電柱の太さと影の幅は無視して考えるものとする。また、地面と坂は平面である
とし、地面と坂が交わってできる直線をlとする。
 電柱の先端を点Aとし、根元を点Bとする。電柱の影について、地面にある部分を
線分BCとし、坂にある部分を線分CDとする。線分BC,CDがそれぞれlと垂直
であるとき、電柱の影は坂に向かってまっすぐにのびているということにする。

http://www.a-ema.com/img/2024m1a1_2-1.png

図1

電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびているとする。このとき、4点A,B,C,
Dを通る平面はlと垂直である。その平面において、図2のように、直線ADと
直線BCの交点をPとすると、太陽高度とは∠APBの大きさのことである。

http://www.a-ema.com/img/2024m1a1_2-2.png

図2

道路標識の7%という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対して
7mの割合で高くなることを示している。nを1以上9以下の整数とするとき、坂の
傾斜角∠DCPの大きさについて

  n°<∠DCP<n°+1°

を満たすnの値は[シ]である。

 以下では、∠DCPの大きさは、ちょうど[シ]°であるとする。

 ある日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたとき、影の長さを調べた
ところBC=7m,CD=4mであり、太陽高度は∠APB=45°であった。点D
から直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をEとするとき

  BE=[ス]×[セ]m

であり

  DE=([ソ]+[タ]×[チ])m

である。よって、電柱の高さは、小数第2位で四捨五入すると[ツ]mであることが
わかる。

[セ],[チ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} sin∠DCP   {1} 1/sin∠DCP {2} cos∠DCP  |
|{3} 1/cos∠DCP {4} tan∠DCP   {5} 1/tan∠DCP|
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
|{0} 10.4  {1} 10.7  {2} 11.0 |
|{3} 11.3  {4} 11.6  {5} 11.9 |
└―――――――――――――――――――――――┘


 別の日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたときの太陽高度は
∠APB=42°であった。電柱の高さがわかったので、前回調べた日からの影の
長さの変化を知ることができる。電柱の影について、坂にある部分の長さは

  CD=(AB−[テ]×[ト])/([ナ]+[ニ]×[ト]) m

である。AB=[ツ]mとして、これを計算することにより、この日の電柱の影に
ついて、坂にある部分の長さは、前回調べた4mより約1.2mだけ長いことが
わかる。

[ト]〜[ニ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} sin∠DCP  {1} cos∠DCP  {2} tan∠DCP  |
|{3} sin42°   {4} cos42°   {5} tan42°   |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 三角比は直角三角形の辺の比
 ◆2 丁寧に読んだ方が結局速いかも?
 ◆3 「縦/横」だからタンジェント

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 三角比は直角三角形の辺の比

2024年数学1A第1問[2]は、三角比の文章問題でした。
共通テストで特徴的な、身近な事柄に数学を適用する問題となっています。
文章が長いので、読むのが大変に感じる人も多いと思いますが、内容としては、
三角比の定義が重要になってきます。

三角比は直角三角形の辺の比を表していて、

★ sinθ=y/r(サインは斜辺分の縦)
★ cosθ=x/r(コサインは斜辺分の横)
★ tanθ=y/x(タンジェントは横分の縦)

ですね。

このページも参考にしてみてください。

「えまじゅくブログ三角比まとめページ」
→ http://a-ema.seesaa.net/article/478799685.html


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 ◆2 丁寧に読んだ方が結局速いかも?

それでは問題の内容を確認していきましょう!

地面に電柱が垂直に立っていて、電柱の高さを求めるのが目標のようです。

そして、条件の説明として

「坂の傾斜は7%」「地面と坂が交わってできる直線をlとする」
「電柱の先端を点Aとし、根元を点Bとする」
「電柱の影について、地面にある部分を線分BCとし、坂にある部分を線分CD
とする」

さらに、

「直線ADと直線BCの交点をPとすると太陽高度は∠APB」と書かれています。

共通テストは時間が足りない試験なので、「悠長に読んでられないよ!」という人も
いると思いますが、設定や状況が理解できた方が解きやすく、よく理解できれば
悩む時間が削減できるので、その方が結局速かったりします。
「時間が足りない」という人ほど、逆に、丁寧に読むように心がけることをおすすめ
します!


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 ◆3 「縦/横」だからタンジェント

第1問[2]最初の空欄[シ]に関して、次のような記述があります。


道路標識の7%という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対して
7mの割合で高くなることを示している。nを1以上9以下の整数とするとき、坂の
傾斜角∠DCPの大きさについて

  n°<∠DCP<n°+1°

を満たすnの値は[シ]である。


要するに、7%という表示があるならば、「100m横に進むと7m縦に進む」
ことがわかります。

これを三角比で表せば、タンジェントですね。

◆1でも確認したように・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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