◆問題
平面上にｎ本の直線があり、どの２本も平行でなく、また、どの３本も同一の点で交わらないとする。このとき、これらの直線によって平面はいくつの部分に分けられるか求めよ。
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◆解答解説
例えば、平面上に３本の直線が引いてあるとします。
ここに１本の直線つまり、４本目を書き足すと、もともとの３本と交わり、交点が３つ増えます。
そうすると、新たに直線を引いたことにより、分けられた平面の区域は４つ増えることになります。
ｎ本の直線が引いてある場合で同様に考えれば、ｎ＋１本目を引けば、交点がｎ個増えて、平面の区域はｎ＋１個増えるはずですね。
ｎ本目の直線を引いたときの区域の個数をａnとして、これを式で表せば、
ａn+1＝ａn＋ｎ＋１
となります。
「ｎ＋１本目を引けば、ｎ本目のときよりｎ＋１個多い」という意味を表します。
これは階差数列を表す漸化式になっているので、普通に階差数列の一般項の求め方をやります。
ａn＝ａ1Σ[k=1～n-1]ｂk
ですね。
直線が１本のとき、平面は２つの区域に分けられるので、ａ1＝２です。
そして、ｂn＝ｎ＋１ですね。
だから、
ａn＝２＋Σ[k=1～n-1](ｋ＋１)
＝２＋(ｎ／２)(ｎ－１)＋ｎ－１
＝２＋ｎ2／２－ｎ／２＋ｎ－１
＝ｎ2／２＋ｎ／２＋１
ｎ＝１のとき、１／２＋１／２＋１＝２だから、このａnはｎ＝１のときも成り立つ。
というわけで、ｎ本の直線によって、平面はｎ2／２＋ｎ／２＋１個の部分に分けられる。ことがわかりました。
ちなみに、１／２でくくって、(１／２)(ｎ2＋ｎ＋２)個としてもよいです。
◆関連項目
漸化式で表された階差数列ａ1＝－１，ａn+1＝ａn＋３ｎ
数列まとめ
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