高校数学「三角比」円に内接する四角形ＡＢＣＤの辺の長さ

高校数学「三角比」円に内接する四角形ＡＢＣＤの辺の長さ

◆問題

円に内接する四角形ＡＢＣＤで、ＡＢ＝６，ＢＣ＝１０，ＣＤ＝４，∠Ｂ＝６０°のとき、ＤＡの長さを求めよ。


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◆解答解説

四角形は三角形に分けることができるので、対角線を引くなどして、三角形を作って正弦定理や余弦定理を使うことができます。

例えば、今回の問題ではＢとＤを結べば、△ＡＢＣはＡＢ＝６，ＢＣ＝１０，∠Ｂ＝６０°だから、余弦定理でＣＡを求めることができますね。

ＣＡ²＝ＡＢ²＋ＢＣ²−２×ＡＢ×ＢＣ×ｃｏｓＢ
　　＝６²＋１０²−２×６×１０×ｃｏｓ６０°
　　＝３６＋１００−１２０×１／２
　　＝７６
よって、ＣＡ＝√７６＝２√１９

四角形ＡＢＣＤは円に内接するので、∠Ｂ＝６０°ならば、∠Ｄ＝１２０°です。
すると、△ＡＣＤに注目すれば、ＣＤ＝４，∠Ｄ＝１２０とＣＡ＝２√１９の、２辺と１角がわかっていることになります。
ならば、余弦定理の式を作れば、残りの１辺ＤＡがわかりますね！

ＡＣ²＝ＣＤ²＋ＤＡ²−２×ＣＤ×ＤＡ×ｃｏｓ∠Ｄ
７６＝１６＋ＤＡ²−２×４×ＤＡ×(−１／２)
７６＝１６＋ＤＡ²＋４ＤＡ

移項してまとめると、

ＤＡ²＋４ＤＡ−６０＝０
(ＤＡ＋１０)(ＤＡ−６)＝０
よってＤＡ＝−１０，６
ＤＡ＞０だから、ＤＡ＝６


◆関連項目
正弦定理・余弦定理、△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ＣＡ＝３である。辺ＢＣ上にＢＤ＝２となるように点Ｄをとる。このとき、ＡＤの長さを求めよ。
三角比まとめ

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