高校数学「数列」Ｓn＝１／(１・２)＋１／(２・３)＋１／(３・４)＋……＋１／{ｎ(ｎ＋１)}

高校数学「数列」Ｓn＝１／(１・２)＋１／(２・３)＋１／(３・４)＋……＋１／{ｎ(ｎ＋１)}

◆問題

次の和Ｓnを求めよ。

Ｓn＝１／(１・２)＋１／(２・３)＋１／(３・４)＋……＋１／{ｎ(ｎ＋１)}


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

Ｓn＝１／(１・２)＋１／(２・３)＋１／(３・４)＋……＋１／{ｎ(ｎ＋１)}

このように、分母が自然数の積になっている分数の和を求めるときは、いわゆる部分分数分解をします。

まず最初の項、１／(１・２)について考えてみます。

１／(１・２)＝１／２

ですね。さらに、

１／１−１／２＝２／２−１／２＝１／２

となります。だから、

１／(１・２)＝１／１−１／２

ということができます。
同様に、

１／(２・３)＝１／２−１／３，１／(３・４)＝１／３−１／４

となります。
通分して引いてみると、そうなっちゃいます。Ｓnの式のそれぞれの項を置き換えてみると、

Ｓn＝(１／１−１／２)＋(１／２−１／３)＋(１／３−１／４)＋……＋{１／ｎ−１／(ｎ＋１)}

このように書き換えることができます。

Ｓn＝(１／１−１／２)＋(１／２−１／３)＋(１／３−１／４)＋……＋{１／ｎ−１／(ｎ＋１)}

色をつけたところがそれぞれ相殺してゼロになるので、最初と最後だけが残ります。
つまり、

Ｓn＝１／１−１／(ｎ＋１)
　＝(ｎ＋１)／(ｎ＋１)−１／(ｎ＋１)
　＝ｎ／(ｎ＋１)


◆関連項目
Ｓn＝１／(１・４)＋１／(４・７)＋１／(７・１０)＋……＋１／{(３ｎ−２)(３ｎ＋１)}、部分分数分解
数列まとめ

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