◆問題
次の和Ｓnを求めよ。
Ｓn＝１／(１・４)＋１／(４・７)＋１／(７・１０)＋……＋１／{(３ｎ－２)(３ｎ＋１)}
↓解答解説はお知らせの下に↓
━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★
★ ★
★ 茨城県水戸市、常陸太田市の個別指導教室 ★
★ 「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。 ★
★ 対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！ ★
★ オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。 ★
★ ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
授業料が最大で40%引きになる２人以上の同時指導も好評です！
今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。
お問い合わせはこちらへどうぞ
家庭教師・塾のサイト→ http://www.a-ema.com/
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
◆解答解説
Ｓn＝１／(１・４)＋１／(４・７)＋１／(７・１０)＋……＋１／{(３ｎ－２)(３ｎ＋１)}
前回の問題と同様に、部分分数分解をします。
「同様」だから、１／(１・４)＝１／１－１／４だよね！
などと、検証せずに安易にやってしまって間違える人たくさんいます。
雰囲気・イメージだけで判断せず、「たぶんこう」と思うものの確証がないときは、実際にやってみましょう！
実際に１／１－１／４を計算してみると・・・
１／１－１／４＝４／４－１／４＝３／４
ですね。１／４ではありません。
でも、３／４は１／４の３倍だから、これを１／３倍して、
(１／３)・(３／４)＝１／４
こうすれば、ちゃんと１／４になります。
同様に、１／(４・７)もやってみましょう！
１／４－１／７＝７／２８－４／２８＝３／２８すなわち３／(４・７)です。
ならば、これも１／３すれば、１／(４・７)になりますね。
つまり、１／(４・７)＝(１／３)(１／４－１／７)です。
ということは、１／(７・１０)＝(１／３)(１／７－１／１０)だし、その次も同様に１／(１０・１３)＝(１／３)(１／１０－１／１３)となります。
最後の項の１／{(３ｎ－２)(３ｎ＋１)}も同様に、(１／３){１／(３ｎ－２)－１／(３ｎ＋１)}となります。
つまり、全ての項が、分数の差の１／３倍になると推定できます。
だから、与式は
Ｓn＝(１／３){(１／１－１／４)＋(１／４－１／７)＋(１／７－１／１０)＋……＋１／(３ｎ－２)－１／(３ｎ＋１)}
このように書き換えることができます。
１／４同士、１／７同士、１／１０同士が次々と相殺してゼロになり、最初と最後だけが残ります。
つまり、
Ｓn＝(１／３){１－１／(３ｎ＋１)}
あとは計算してできるだけ簡単にします。
＝(１／３){(３ｎ＋１)／(３ｎ＋１)－１／(３ｎ＋１)}
＝(１／３){３ｎ／(３ｎ＋１)}
＝ｎ／(３ｎ＋１)
◆関連項目
Ｓn＝１／(１・２)＋１／(２・３)＋１／(３・４)＋……＋１／{ｎ(ｎ＋１)}、部分分数分解
数列まとめ
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！
プロ家庭教師の江間です。 ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/ http://www.a-ema.com/j/
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ラベル：数学
