高校数学「数列」Ｓn＝１／(√１＋√２)＋１／(√２＋√３)＋１／(√３＋√４)＋……＋１／{√ｎ＋√(ｎ＋１)}

高校数学「数列」Ｓn＝１／(√１＋√２)＋１／(√２＋√３)＋１／(√３＋√４)＋……＋１／{√ｎ＋√(ｎ＋１)}

◆問題

次の和Ｓnを求めよ。

Ｓn＝１／(√１＋√２)＋１／(√２＋√３)＋１／(√３＋√４)＋……＋１／{√ｎ＋√(ｎ＋１)}


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

Ｓn＝１／(√１＋√２)＋１／(√２＋√３)＋１／(√３＋√４)＋……＋１／{√ｎ＋√(ｎ＋１)}

これは等差数列でもなく等比数列でもなく、このような数列に対応するΣの公式もないので、できるだけ簡単な形に式を変形することを考えます。

式をよく見てみると、Ｓn＝１／(１・２)＋１／(２・３)＋１／(３・４)＋……＋１／{ｎ(ｎ＋１)}などの問題と形が似ていることに気付くと思います。
ならば、その手の問題と似たようなことができないかな？と考えます。

とりあえず最初の項１／(√１＋√２)をピックアップしてみましょう。
分母にルートがあると計算しにくいので、有理化してみると・・・

　１／(√１＋√２)
＝{１／(√１＋√２)}×{(√２−√１)／(√２−√１)}
＝(√２−√１)／(√２²−√１²)
＝(√２−√１)／(２−１)
＝√２−√１

このように変形することができますね。

１／(√２＋√３)も同様に有理化すれば、√３−√２と直すことができます。

ということは、この数列の全ての項は同様に有理化することができて、

Ｓn＝(√２−√１)＋(√３−√２)＋(√４−√３)＋……＋{√(ｎ＋１)−√ｎ}

このように変形することができます。
すると、部分分数分解のときと同じように、それぞれ相殺して、

Ｓn＝−√１＋√(ｎ＋１)

これだけ残ることになります。

√１＝１なので、ちょっと見やすく書き直すと、

Ｓn＝√(ｎ＋１)−１

これで完成ですね！


◆関連項目
Ｓn＝１／(１・２)＋１／(２・３)＋１／(３・４)＋……＋１／{ｎ(ｎ＋１)}、部分分数分解
数列まとめ

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