■ 問題
ｎが自然数のとき、ｎ3＋２ｎは３の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。
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■ 解答解説
数学的帰納法を用いた証明の代表的なパターンの１つです。大学入試に数学を使う人は解けるようにしておきたい問題です。
まず、「ｎ3＋２ｎは３の倍数である」ことを①とおいておきます。
こうすることにより、証明を書く手間が少し省けます。
[1] ｎ＝１のとき
ｎ3＋２ｎ＝１3＋２×１＝３
よって、①は成り立つ。
[2] ｎ＝ｋのとき①が成り立つと仮定すると、自然数ｍを用いて、
ｋ3＋２ｋ＝３ｍ
と表すことができる。
ｎ＝ｋ＋１のとき、
(ｋ＋１)3＋２(ｋ＋１)
＝ｋ3＋３ｋ2＋３ｋ＋１＋２ｋ＋２
＝ｋ3＋２ｋ＋３ｋ2＋３ｋ＋３
＝ｋ3＋２ｋ＋３(ｋ2＋ｋ＋１)
ｋ3＋２ｋ＝３ｍであり、ｋ2＋ｋ＋１は整数だから、
ｋ3＋２ｋ＋３(ｋ2＋ｋ＋１)は３の倍数である。
よって、①はｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ。
[1]，[2]より、①は全ての自然数で成り立つ。
◆関連項目
「数学的帰納法」１＋４＋７＋……＋(３ｎ－２)
数列まとめ
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ラベル：数学
