高校数学「数列」漸化式ａ1＝１，ａn+1＝(１／２)ａn−３

高校数学「数列」漸化式ａ₁＝１，ａ_n+1＝(１／２)ａ_n−３

◆問題

次の条件によって定められる数列{ａn}の一般項を求めよ。

ａ₁＝１，ａ_n+1＝(１／２)ａ_n−３


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◆解答解説

ａ₁＝１，ａ_n+1＝(１／２)ａ_n−３

この数列は、「次の項にいくたびに、１／２倍して３を引く」ことなります。
つまり、等差数列と等比数列の両方の要素が含まれている。ということができます。
そんなときは、

ａ_n+1−α＝ｐ(ａ_n−α)

の形に直してカッコの中身をｂnでおく。という流れですね。

まずは与式をこの形に直すために、ａ_n+1−α＝ｐ(ａ_n−α)を変形して与式と同じ形にします。

ａ_n+1＝ｐ・ａ_n−ｐα＋α

与式と係数比較をすると、

ｐ＝１／２，−ｐα＋α＝−３

であることがわかります。
これを解くと、

−(１／２)α＋α＝−３
　　(１／２)α＝−３
　　　　　α＝−６

というわけで、与式は

ａ_n+1−(−６)＝(１／２){ａ_n−(−６)}
すなわち、
ａ_n+1＋６＝(１／２)(ａ_n＋６)

と表すことができます。
この式のカッコの中身をｂnとおきます。
つまり、ｂ_n＝ａ_n＋６とすると、

ｂ_n+1＝(１／２)ｂ_n

と置き換えられますね。

さらに、ｎ＝１のとき、ｂ1＝ａ1＋６＝１＋６＝７だから、ｂnの初項は７です。
つまり、ｂnは、初項７，公比１／２の等比数列です。
ならば普通に等比数列の一般項の公式より、

ｂ_n＝７・(１／２)^n-1

ですね。
そしてつい先ほどｂ_n＝ａ_n＋６とおいたので、ａ_n＝ｂ_n−６だから、

ａ_n＝７・(１／２)^n-1−６

これが求める一般項の式となります。


◆関連項目
ａ_n+1＝３ａ_n−２，ａ₁＝２で表される数列の一般項、漸化式で表された等差数列、漸化式で表された等比数列
数列まとめ


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