高校数学「三角比」円に内接する四角形ＡＢＣＤの角や辺�@

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◆問題

円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝３，ＢＣ＝√２，ＣＤ＝√２，ＤＡ＝１のとき、次のものを求めよ。

(1) ∠Ｂ


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

円に内接する四角形の対角の和は１８０°という性質があるので、∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°となります。

だから、ｃｏｓＤ＝ｃｏｓ(１８０°−Ｂ)＝−ｃｏｓＢです。

これを用いて、余弦定理の式を２つ作ってみましょう！

まずは△ＡＢＣについて

ＡＣ²＝ＡＢ²＋ＢＣ²−２ＡＢ・ＢＣ・ｃｏｓＢ
　　＝３²＋√２²−２×３×√２×ｃｏｓＢ
　　＝９＋２−６√２・ｃｏｓＢ
　　＝１１−６√２・ｃｏｓＢ

次は△ＣＤＡについて

ＡＣ²＝ＣＤ²＋ＤＡ²−２・ＣＤ・ＤＡ・ｃｏｓＤ
　　＝√２²＋１²−２×√２×１×ｃｏｓＤ
　　＝２＋１−２√２・ｃｏｓＤ
　　＝３＋２√２・ｃｏｓＢ　　←ｃｏｓＤ＝−ｃｏｓＢ

これらはどちらもＡＣ²で等しいので、

１１−６√２・ｃｏｓＢ＝３＋２√２・ｃｏｓＢ

あとはｃｏｓＢについて解きます。

−６√２・ｃｏｓＢ−２√２・ｃｏｓＢ＝３−１１
−８√２・ｃｏｓＢ＝−８
　　　　ｃｏｓＢ＝１／√２

よって、Ｂ＝４５°


次の問題→ＡＣの長さ


◆関連項目
∠Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝６の三角形ＡＢＣの面積
三角比まとめ

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