◆問題
第２問 ペットボトルロケットに関する探求の過程についての次の文章を読み、後の問い(問１～５)に答えよ。
図１は、ペットボトルロケットの模式図である。ペットボトルの飲み口には栓のついた細い管(ノズル)が取り付けられていて、内部には水と圧縮空気が閉じ込められている。ノズルの栓を開くとその先端から下向きに水が噴出する。ペットボトルとノズルはそれぞれ断面積Ｓ0，ｓの円筒形とする。考えやすくするために、以下の計算では、水の運動による摩擦(粘性)、空気抵抗、大気圧、重力の影響は無視する。
問１はこちら
引き続き、ペットボトルが固定されている場合を考える。栓を開けた後、図２(ａ)のような状態にあったところ、時刻ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間に質量Δｍ，体積ΔＶの水が噴出し、図２(ｂ)のような状態になった。このとき、Δｔは小さいので、ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間、圧縮空気の圧力ｐや、噴出した水の速さｕは一定とみなせるものとする。また、ペットボトルやノズルの中にあるときの水の運動エネルギーは考えなくてよい。水の密度をρ0とする。なお、以下の図で、ｔ＜０で噴出した水は省略されている。
図２
問２ 時刻ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間に分し噴出した水の質量Δｍと、同じ時間の間に圧縮空気がした仕事Ｗ'を表す式として正しいものを、それぞれの選択肢のうちから１つずつ選べ。
Δｍ＝[ 8 ]
Ｗ'＝[ 9 ]
[ 8 ]の選択肢
①ｐΔＶ ②ρ0ΔＶ ③ｕΔＶ ④ｐρ0ΔＶ
⑤ΔＶ／ｐ ⑥ΔＶ／ρ0 ⑦ΔＶ／ｕ ⑧ΔＶ／ｐρ0
[ 9 ]の選択肢
①ｐΔＶ ②ρ0ΔＶ ③ｐρ0ΔＶ ④ｐρ0(ΔＶ)^2
⑤－ｐΔＶ ⑥－ρ0ΔＶ ⑦－ｐρ0ΔＶ ⑧－ｐρ0(ΔＶ)^2
問２の解答はこのページ下に掲載します。
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◆解答
2024年第２問は、ペットボトルロケットを題材とした設問でした。
問２では、図２のペットボトルについて、時刻ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間に分し噴出した水の質量Δｍと、同じ時間の間に圧縮空気がした仕事Ｗ'を求めます。
(a)の時点では密度ρ0の水がペットボトル内に入っています。
Δｔ秒後の(b)では、体積ΔＶの水が速さｕで噴出したようです。
噴出した水の体積はΔＶで、その密度はρ0だから、噴出した水の質量Δｍはこれらの積つまり、
Δｍ＝ρ0・ΔＶ
となります。
続いて圧搾空気がした仕事を考えます。
「仕事＝力×距離」ですね。
そして、「力＝圧力×面積」です。
つまり、空気が水を押す力は、ｐＳとなります。
そしてΔＶは体積なので、水の移動距離はΔＶ／Ｓとなります。
というわけで、求める仕事は、
Ｗ'＝ｐＳ×ΔＶ／Ｓ
＝ｐΔＶ
よって、[ 8 ]＝②，[ 9 ]＝①となります。
次の問題→問３
◆関連項目
等加速度運動
力～エネルギー、力のモーメントなど
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