◆問題
第２問 ペットボトルロケットに関する探求の過程についての次の文章を読み、後の問い(問１～５)に答えよ。
図１は、ペットボトルロケットの模式図である。ペットボトルの飲み口には栓のついた細い管(ノズル)が取り付けられていて、内部には水と圧縮空気が閉じ込められている。ノズルの栓を開くとその先端から下向きに水が噴出する。ペットボトルとノズルはそれぞれ断面積Ｓ0，ｓの円筒形とする。考えやすくするために、以下の計算では、水の運動による摩擦(粘性)、空気抵抗、大気圧、重力の影響は無視する。
問１はこちら
引き続き、ペットボトルが固定されている場合を考える。栓を開けた後、図２(ａ)のような状態にあったところ、時刻ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間に質量Δｍ，体積ΔＶの水が噴出し、図２(ｂ)のような状態になった。このとき、Δｔは小さいので、ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間、圧縮空気の圧力ｐや、噴出した水の速さｕは一定とみなせるものとする。また、ペットボトルやノズルの中にあるときの水の運動エネルギーは考えなくてよい。水の密度をρ0とする。なお、以下の図で、ｔ＜０で噴出した水は省略されている。
問２ 時刻ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間に分し噴出した水の質量Δｍと、同じ時間の間に圧縮空気がした仕事Ｗ'を表す式
問３ 次の文章中の空欄[ウ]・[エ]には、それぞれ直後の{ }内の語句および数式のいずれか１つが入る。入れる語句および数式を示す記号の組合せとして最も適当なものを、後の①～⑨のうちから１つ選べ。[ 10 ]
時刻ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間に噴出した水の、ｔ＝Δｔでの[ウ]{(a)運動量 (b)内部エネルギー (c)運動エネルギー}が、この間に圧縮空気がした仕事Ｗ'に等しいとき、
ｕ＝[エ]{(d)２Ｗ'／Δｍ (e)２Ｗ'／ｐΔｍ (f)√(２Ｗ'／Δｍ)}となる。この式と前問の結果から、ｐとρ0を用いてｕを表すことができる。
問３の解答はこのページ下に掲載します。
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◆解答
2024年第２問は、ペットボトルロケットを題材とした設問でした。
問３では、ペットボトルロケット水の噴出についての考察をします。
「時刻ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間に噴出した水の、ｔ＝Δｔでの[ウ]{(a)運動量 (b)内部エネルギー (c)運動エネルギー}が、この間に圧縮空気がした仕事Ｗ'に等しいとき」
空気がした仕事によって、水が噴出するつまり、水は運動エネルギーを得る。ということができますね。
つまり、まず[ウ]は(c)運動エネルギーが適切です。
「ｕ＝[エ]{(d)２Ｗ'／Δｍ (e)２Ｗ'／ｐΔｍ (f)√(２Ｗ'／Δｍ)}となる」
仕事Ｗ'＝ｐΔＶで、運動エネルギーは(１／２)ｍｖ2、この問題では、(１／２)Δｍ・ｕ2ですね。
これらをイコールで結んでｕについて解けば、
ｕ＝√(２Ｗ'／Δｍ)
となります。つまり、[エ]は(f)です。
というわけで、解答番号[ 10 ]の解答としては、⑨となります。
次の問題→問４運動量の式
◆関連項目
等加速度運動
力～エネルギー、力のモーメントなど
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