◆問題
第２問 ペットボトルロケットに関する探求の過程についての次の文章を読み、後の問い(問１～５)に答えよ。
図１は、ペットボトルロケットの模式図である。ペットボトルの飲み口には栓のついた細い管(ノズル)が取り付けられていて、内部には水と圧縮空気が閉じ込められている。ノズルの栓を開くとその先端から下向きに水が噴出する。ペットボトルとノズルはそれぞれ断面積Ｓ0，ｓの円筒形とする。考えやすくするために、以下の計算では、水の運動による摩擦(粘性)、空気抵抗、大気圧、重力の影響は無視する。
問１はこちら
問２ 時刻ｔ＝０からｔ＝Δｔまでの間に分し噴出した水の質量Δｍと、同じ時間の間に圧縮空気がした仕事Ｗ'を表す式
問３噴出した水の速さ等の考察
今度は、ペットボトルロケットが静止した状態から飛び出す状況を考える。時刻ｔ＜０では、図２(a)と同じ状態であり、ｔ＝０にストッパーを外して動けるようになったとする(図３(a))。ｔ＝Δｔでは、水を噴出したロケットは上向きに動いている(図３(b))。ｔ＝０での、ペットボトルと内部の水やノズルを含むロケット全体の質量をＭ，速さを０とする。また、ｔ＝Δｔでの、ロケット全体の質量をＭ'，速さをΔｔ，Δｔの間に噴出した水の速さをｕ'とする。Δｔが小さいときには、ΔｍとΔｖも小さいので、Ｍ'をＭに、ｕ'をｕに等しいとみなせるものとする。ペットボトル内部の水の流れの影響は考えなくてよいものとする。
問４ 時刻ｔ＝Δｔでのロケットの運動量と噴出した水の運動量の和は、ｔ＝０でのロケットの運動量に等しいと考えられる。その関係を表す式として最も適当なものを、次の①～⑧のうちから１つ選べ。[ 11 ]
①ΔｍΔｖ＋Ｍｕ＝０ ②ΔｍΔｖ－Ｍｕ＝０
③ＭΔｖ＋Δｍｖ＝０ ④ＭΔｖ－Δｍｖ＝０
⑤(１／２)Ｍ(Δｖ)^2＋(１／２)Δｍｕ^2＝０ ⑥(１／２)Ｍ(Δｖ)^2－(１／２)Δｍｕ＝０
⑦(１／２)Δｍ(Δｖ)^2＋(１／２)Ｍｕ^2＝０ ⑧(１／２)Δｍ(Δｖ)^2－(１／２)Ｍｕ^2＝０
問４の解答はこのページ下に掲載します。
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◆解答
2024年第２問は、ペットボトルロケットを題材とした設問でした。
第２問後半では、ロケットのストッパーを外し、飛び出せるようにしています。
そして、問４では、運動量についての式を答えます。
問題文にも「時刻ｔ＝Δｔでのロケットの運動量と噴出した水の運動量の和は、ｔ＝０でのロケットの運動量に等しい」と書いてあります。
運動量はｍｖで求めることができます。
ｔ＝０のときはｖ＝０だから、運動量もゼロになります。
つまり、「Δｔでの運動量＝０」という式を立てればよいことになります。
ｔ＝Δｔでのロケット全体の質量はＭ'，噴出した水の質量はΔｍですね。
そして速さはそれぞれ、Δｖ，ｕ'です。
そのまま運動量の和を表すと、
Ｍ'ΔＶ＋Δｍｕ'
となります。
「Δｔが小さいときは、Ｍ'＝Ｍ，ｕ'＝ｕとみなせる」という設定なので、
ＭΔＶ＋Δｍｕ＝０
ですね！
[ 11 ]の解答としては④となります。
次の問題→ロケットの推進力
◆関連項目
等加速度運動
力～エネルギー、力のモーメントなど
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