◆問題
底面を△ＤＥＦとする高さ４ｃｍの三角柱ＡＢＣＤＥＦについて次の問いに答えよ。ただし、ＤＥ＝ＤＦ＝３ｃｍ，ＥＦ＝２ｃｍとする。
①三角柱ＡＢＣＤＥＦの表面積を求めよ。
②辺ＢＣの中点をＰとし、辺ＡＤ上にＡＱ：ＱＤ＝３：１となる点Ｑをとる。また線分ＤＰ上に∠ＱＲＤ＝９０°となる点Ｒをとる。このとき、三角錐ＲＰＥＦの体積を求めよ。
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◆解答解説
②辺ＢＣの中点をＰとし、辺ＡＤ上にＡＱ：ＱＤ＝３：１となる点Ｑをとる。また線分ＤＰ上に∠ＱＲＤ＝９０°となる点Ｒをとる。このとき、三角錐ＲＰＥＦの体積を求めよ。
この問題は新聞等に掲載されている図を見ながら読んでいただいた方が良いと思います。
東京新聞より＜茨城＞2024年首都圏公立高校入試 問題と正答
解き方はいくつか考えられますが、この記事では最も標準的と思われる方法を掲載します。
「三角錐Ｐ－ＤＥＦから三角錐Ｒ－ＤＥＦを引く」という方針です。
まずは三角錐Ｐ－ＤＥＦは簡単ですね。
底面が△ＤＥＦで、高さは４ｃｍだから、
(１／３)×２√２×４＝(８／３)√２ｃｍ3
となります。
次は三角錐Ｒ－ＤＥＦを求めます。
この三角錐の高さは、Ｒから△ＤＥＦに下ろした垂線になります。
Ｒ－ＤＥＦとＰ－ＤＥＦの高さの比は、ＤＲ：ＤＰと等しくなります。
これを求めるには、この線を含む断面を考えると良いです。
もとの三角柱をＡＰを通る平面で真下に二等分すると、断面はＡ，Ｐ，Ｄを通る長方形になります。
この断面上に△ＤＱＲがあります。
△ＤＱＲ∽△ＰＤＡだから、ＤＲ：ＤＱ＝ＤＡ：ＤＰですね。
これらの三角形の辺うち必要な長さを求めていきます。
△ＰＤＡについては、ＡＤ＝４ｃｍは問題の設定からわかっていて、ＡＰ＝２√２ｃｍは①で求めました。
三平方の定理から、ＤＰ＝√{４2＋(２√２)2}＝√２４＝２√６ｃｍ
そして、ＡＱ：ＱＤ＝３：１で、ＡＤ＝４ｃｍだから、ＤＱ＝１ｃｍです。
というわけで、ＤＲ：１＝４：２√６より、ＤＲ＝４／２√６＝２／√６ｃｍとなります。
ＤＲとＤＰがわかったので、高さの比を求めていきましょう！
ＤＲ：ＤＰ＝２／√６：２√６＝２：１２＝１：６
というわけて、三角錐Ｒ－ＤＥＦは、Ｐ－ＤＥＦの１／６であることがわかります。
つまり、
Ｒ－ＤＥＦ＝(８／３)√２×１／６
＝(４／９)√２ｃｍ3
というわけで求める体積は、
ＲＰＥＦ＝(８／３)√２－(４／９)√２＝{(２４－４)／９}√２＝(２０／９)√２ｃｍ3
ですね！
◆関連項目
直方体の表面積
図形まとめ(中学)
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ラベル：数学
