高校数学「平面のベクトル」絶対値がわかっていて内積を求めるとき

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■　問題




解答解説はこのページ下


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■　解答解説

ベクトルの問題では、２乗するとうまくいくことがあります。

※この記事ではベクトルの→を省略して記載します。

|２ａ＋ｂ|²＝４|ａ|²＋４ａ・ｂ＋|ｂ|²

まずは２乗するとこのような式ができますね。

この式に与えられた値を代入すると、

√１０²＝４・１²＋４ａ・ｂ＋√２²

これをａ・ｂについて解けば、内積がわかります。

　　１０＝４＋４ａ・ｂ＋２
　　１０＝６＋４ａ・ｂ
４ａ・ｂ＝１０−６
４ａ・ｂ＝４
　ａ・ｂ＝１

内積の公式を使えばｃｏｓθの値がわかり、なす角もわかります。

ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓθ
　　１＝１・√２・ｃｏｓθ
ｃｏｓθ＝１／√２

よって、θ＝４５°


◆関連項目
内積、|→ａ＋ｔ・→ｂ|の最小値
ベクトルまとめ


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