■ 問題
３点Ｏ(０，０)，Ａ(４，３)，Ｂ(１，－３)を頂点とする三角形の面積Ｓを求めよ。
解答解説はこのページ下
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■ 解答解説
いろいろな解き方が考えられますが、ここではベクトルを使って地道に求めてみます。
基本的な方針としては、数学１の三角比の三角形の面積の公式Ｓ＝(１／２)ｂｃ・ｓｉｎＡを使う。という方針です。
例えば、Ｓ＝(１／２)・ＯＡ・ＯＢ・ｓｉｎ∠ＡＯＢと考えてやっていきましょう！
ｃｏｓ∠ＡＯＢを求めればｓｉｎ∠ＡＯＢがわかるので、ベクトルの内積を用います。
座標より、→ＯＡ＝(４，３)，→ＯＢ＝(１，－３)だから、
→ＯＡ・→ＯＢ＝４×１＋３×(－３)＝４－９＝－５
|→ＯＡ|＝√(４2＋３2)＝√(１６＋９)＝√２５＝５
|→ＯＢ|＝√{１2＋(－３)2}＝√(１＋９)＝√１０
内積の公式より、→ＯＡ・→ＯＢ＝|→ＯＡ||→ＯＢ|ｃｏｓθだから、ｃｏｓθ＝→ＯＡ・→ＯＢ／|→ＯＡ||→ＯＢ|です。
これにそれぞれの値を代入すると、
ｃｏｓθ＝－５／(５・√１０)＝－１／√１０
これでコサインがわかったので、三角比の公式からサインを求めます。
ｓｉｎθ＝√(１－ｃｏｓ2θ)＝√(１－１／１０)＝√(９／１０)＝３／√１０
これで面積を求めるために必要な値が全てわかりました。
それぞれ代入して計算します。
△ＯＡＢ＝(１／２)ＯＡ・ＯＢ・ｓｉｎ∠ＡＯＢ＝(１／２)・５・√１０・３／√１０＝１５／２
◆関連項目
内積、ベクトルまとめ
三角形の面積の公式、三角比まとめ
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