2024年03月06日

高校数学「平面のベクトル」|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積S

高校数学「平面のベクトル」|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積S

■ 問題

|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積Sを求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積S

ベクトルの絶対値、つまり、辺の長さと内積の値が与えられています。
これらの情報から、cosθを求めることができるので、cosθからsinθを求め、最後は三角比を使った面積の公式に代入する。という流れですね!

内積の公式より、→OA・→OB=|→OA||→OB|cosθに与えられた値を代入すると、

    6=3×4×cosθ
12cosθ=6
  cosθ=1/2

sin2θ+(1/2)2=1
sin2θ=1−1/4
sin2θ=3/4
sinθ=√3/2

これで「2辺とはさむ角」がわかったので、S=(1/2)bc・sinAに代入すると、

S=(1/2)×3×4×√3/2
 =3√3


ちなみに、cosθ=1/2から、θ=60°と角度を求めて、sin60°=√3/2とした方が簡単かも知れません。


◆関連項目
内積ベクトルまとめ
三角形の面積の公式三角比まとめ


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ラベル:数学
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