■ 問題
|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積Sを求めよ。
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■ 解答解説
|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積S
ベクトルの絶対値、つまり、辺の長さと内積の値が与えられています。
これらの情報から、cosθを求めることができるので、cosθからsinθを求め、最後は三角比を使った面積の公式に代入する。という流れですね!
内積の公式より、→OA・→OB=|→OA||→OB|cosθに与えられた値を代入すると、
6=3×4×cosθ
12cosθ=6
cosθ=1/2
sin2θ+(1/2)2=1
sin2θ=1−1/4
sin2θ=3/4
sinθ=√3/2
これで「2辺とはさむ角」がわかったので、S=(1/2)bc・sinAに代入すると、
S=(1/2)×3×4×√3/2
=3√3
ちなみに、cosθ=1/2から、θ=60°と角度を求めて、sin60°=√3/2とした方が簡単かも知れません。
◆関連項目
内積、ベクトルまとめ
三角形の面積の公式、三角比まとめ
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ラベル:数学