■ 問題
△ＯＡＢにおいて、辺ＯＡを３：１に内分する点をＣ，辺ＯＢを４：１に内分する点をＤとする。また、線分ＡＤと線分ＢＣの交点をＰ，直線ＯＰと辺ＡＢの交点をＱとする。→ＯＡ＝→ａ，→ＯＢ＝→ｂとするとき、次の問いに答えよ。
(1) →ＯＰを→ａ，→ｂを用いて表せ。
↓(1)の解答解説はこのページ下に↓
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■ 解答解説
※この記事ではベクトルの→を一部省略して記載します。
いろいろなことが書いてあって、どこから手をつけたら良いかわからない人も多いと思います。
そんなときは、とにかく「できることをやる」のが大切です。
まずは→ＯＣ，→ＯＤを表しましょう！
「辺ＯＡを３：１に内分する点をＣ」としているので、ＯＣ＝(３／４)ＯＡ＝(３／４)ａです。
同様に「辺ＯＢを４：１に内分する点をＤ」だから、ＯＤ＝(４／５)ＯＢ＝(４／５)ｂです。
そして求めたいのは→ＯＰだから、ＯＰを含む図形を考えます。
例えば△ＯＡＤに注目すると、ＡＤ上にＰがあります。
同様に、△ＯＢＣに注目すると、ＢＣ上にもＰがありますね。
→ＯＰはこのように、２つの異なる見方ができる。ということができます。
だから、→ＯＰを２つの方法で表してイコールで結べば方程式ができて解けるはず！？という方針で考えていきましょう！
線分ＡＤ上のどこかにＰがあるので、ＡＤをＰが内分していると考えて、
ＡＰ：ＰＤ＝ｔ：１－ｔとします。ｔ：１－ｔとおく理由についてはこちらをご覧ください。
すると内分の公式より、「ＯＰ＝(１－ｔ)ＯＡ＋ｔＯＤ」と表すことができます。
つまり、ＯＰ＝(１－ｔ)ａ＋ｔ・(４／５)ｂですね。
同様にＢＣに注目して、ＢＰ：ＰＣ＝ｓ：１－ｓとすると、「ＯＰ＝(１－ｓ)ＯＢ＋ｓＯＣ」ですね。
これもａ，ｂで書き直すと、ＯＰ＝(１－ｓ)ｂ＋ｓ・(３／４)ａとなります。
どちらもＯＰで等しいので、イコールで結べば、
(１－ｔ)ａ＋(４ｔ／５)ｂ＝(１－ｓ)ｂ＋(３ｓ／４)ａ
係数比較をすれば、ｓ，ｔについての方程式ができてしまいます。
１－ｔ＝３ｓ／４ …①
４ｔ／５＝１－ｓ …②
あとは普通に連立方程式を解けばＯＫです！
①×４… ４－４ｔ＝３ｓ
－４ｔ＝３ｓ－４
４ｔ＝－３ｓ＋４
これを②に代入して、
(－３ｓ＋４)／５＝１－ｓ
－３ｓ＋４＝５－５ｓ
２ｓ＝５－４
２ｓ＝１
ｓ＝１／２
ＯＰ＝(１－１／２)ｂ＋(３／４)(１／２)ａ
＝(１／２)ｂ＋(３／８)ａ
次の問題→ＯＰ：ＰＱ
◆関連項目
平面図形への応用①、三角形・内分点などに関する問題
ベクトルまとめ
江間淳の書籍はこちら
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ラベル：数学
