2024年03月20日

高校数学「平面のベクトル」△OAB内部の点を→OA,→OBで表し、OP:PQを求める

高校数学「平面のベクトル」△OAB内部の点を→OA,→OBで表し、OP:PQを求める

■ 問題

△OABにおいて、辺OAを3:1に内分する点をC,辺OBを4:1に内分する点をDとする。また、線分ADと線分BCの交点をP,直線OPと辺ABの交点をQとする。→OA=→a,→OB=→bとするとき、次の問いに答えよ。

(1) →OPを→a,→bを用いて表せ。

(2) OP:PQを求めよ。


↓(2)の解答解説はこのページ下に↓


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■ 解答解説

※この記事ではベクトルの→を一部省略して記載します。

(1)で、

→OP=(1/2)・→b+(3/8)・→a

であることがわかりました。
今度はOP:PQを求めます。

やはり、「まずはできることをやる」「一つのものを2通りの方法で表す」ことを意識して式を立てていきます。

→OPと→OQは平行だから、OQ=k・OPということができます。
つまり、OQ=k{(1/2)b+(3/8)a}です。

また、点QはAB上の点なので、(1)のときと同様に、AQ:QB=t:1−tとおくことができますね。
つまり、OQ=(1−t)OA+tOB=(1−t)a+tbです。

これで→OQを2通りの方法で表すことができました。
これらをイコールで結べば方程式ができますね!

k{(1/2)b+(3/8)a}=(1−t)a+tb
(k/2)b+(3k/8)a=(1−t)a+tb

係数比較をすれば、

3k/8=1−t …@
 k/2=t …A

これら2つの式ができます。
Aより、k=2tで、これを@に代入すると、

3・2t/8=1−t
3t/4=1−t
3t=4−4t
7t=4
 t=4/7

よって、k=8/7

ということは、OQ=(8/7)OPですね。
ならば、OP:PQ=7:1となります。


(1)に戻る


◆関連項目
平面図形への応用@三角形・内分点などに関する問題
ベクトルまとめ


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