■ 問題
△OABにおいて、辺OAを3:1に内分する点をC,辺OBを4:1に内分する点をDとする。また、線分ADと線分BCの交点をP,直線OPと辺ABの交点をQとする。→OA=→a,→OB=→bとするとき、次の問いに答えよ。
(1) →OPを→a,→bを用いて表せ。
(2) OP:PQを求めよ。
↓(2)の解答解説はこのページ下に↓
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■ 解答解説
※この記事ではベクトルの→を一部省略して記載します。
(1)で、
→OP=(1/2)・→b+(3/8)・→a
であることがわかりました。
今度はOP:PQを求めます。
やはり、「まずはできることをやる」「一つのものを2通りの方法で表す」ことを意識して式を立てていきます。
→OPと→OQは平行だから、OQ=k・OPということができます。
つまり、OQ=k{(1/2)b+(3/8)a}です。
また、点QはAB上の点なので、(1)のときと同様に、AQ:QB=t:1−tとおくことができますね。
つまり、OQ=(1−t)OA+tOB=(1−t)a+tbです。
これで→OQを2通りの方法で表すことができました。
これらをイコールで結べば方程式ができますね!
k{(1/2)b+(3/8)a}=(1−t)a+tb
(k/2)b+(3k/8)a=(1−t)a+tb
係数比較をすれば、
3k/8=1−t …@
k/2=t …A
これら2つの式ができます。
Aより、k=2tで、これを@に代入すると、
3・2t/8=1−t
3t/4=1−t
3t=4−4t
7t=4
t=4/7
よって、k=8/7
ということは、OQ=(8/7)OPですね。
ならば、OP:PQ=7:1となります。
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◆関連項目
平面図形への応用@、三角形・内分点などに関する問題
ベクトルまとめ
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ラベル:数学