■ 問題
法線ベクトルを利用して、２直線√３・ｘ＋ｙ＋２＝０，－√３・ｘ＋ｙ－５＝０のなす角αを求めよ。
解答解説はこのページ下
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■ 解答解説
法線ベクトルとは、垂直なベクトルのことで、
直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の法線ベクトルは、→ｎ＝(ａ，ｂ)となります。
(法線ベクトルについて詳しくは別記事で解説したいと思います)
与えられたそれぞれの直線の法線ベクトルをそれぞれ→ｎ1，→ｎ2とすると、
→ｎ1＝(√３，１)，→ｎ2＝(－√３，１)
となります。
直線のなす角と、法線すなわち垂線同士のなす角は同じ大きさになるので、これらのベクトルのなす角が求める角αになる。というわけです。
ベクトルに関して角を求めるなら内積ですね！
→ｎ1・→ｎ2＝√３・(－√３)＋１×１＝－３＋１＝－２
|→ｎ1|＝√(３＋１)＝√４＝２
|→ｎ2|＝√(３＋１)＝√４＝２
内積の公式より、→ｎ1・→ｎ2＝|→ｎ1||→ｎ2|ｃｏｓαだから、
ｃｏｓα＝→ｎ1・→ｎ2／|→ｎ1||→ｎ2|
＝－２／(２・２)
＝－１／２
よって、α＝１２０
ですが、「なす角」は２つの直線が交わってできる角のうち、小さい方の角で表すので、
α＝１８０－１２０＝６０°
◆関連項目
ベクトルまとめ
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ラベル：数学
