■ 問題
点Ａ(４，５)から直線ｘ＋２ｙ＝１２に垂線を引き、その交点をＨとする。
法線ベクトルを利用して、点Ｈの座標と線分ＡＨの長さを求めよ。
解答解説はこのページ下
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■ 解答解説
法線ベクトルとは、垂直なベクトルのことで、
直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の法線ベクトルは、→ｎ＝(ａ，ｂ)となります。
つまり、今回の問題の直線ｘ＋２ｙ＝１２の法線ベクトルは→ｎ＝(１，２)となります。
ということは、→ＡＨ＝ｋ・→ｎ＝(ｋ，２ｋ)です。
垂線は点ＡからＨに引いたので、
→ＯＨ＝(４，５)＋ｋ(１，２)＝(４＋ｋ，５＋２ｋ)となります。
Ｈのｘ座標をｈとすると、ｈ＋２ｙ＝１２よりｙ＝－ｈ／２＋６だから、Ｈ(ｈ，－ｈ／２＋６)です。
つまり、→ＯＨ＝(ｈ，－ｈ／２＋６)です。
これで→ＯＨを２通りの方法で表すことができました。同じベクトルだからイコールで結んで、
(４＋ｋ，５＋２ｋ)＝(ｈ，－ｈ／２＋６)
よって、
４＋ｋ＝ｈ …①
５＋２ｋ＝－ｈ／２＋６ …②
これらの連立方程式を解きます。
①を②に代入して、
５＋２ｋ＝－(４＋ｋ)／２＋６
５＋２ｋ＝－２－ｋ／２＋６
２ｋ＋ｋ／２＝４－５
(５／２)ｋ＝－１
ｋ＝－２／５
どちらか片方が出れば解答は出ますが、ここではとりあえずｈも出しておきます。
４－２／５＝ｈ
ｈ＝１８／５
→ＯＨ＝(４＋ｋ，５＋２ｋ)に、ｋ＝－２／５を代入すると、(１８／５，２１／５)です。
これはつまり、Ｈの座標ですね。
さらに、→ＡＨ＝(ｋ，２ｋ)だから、→ＡＨ＝(－２／５，－４／５)です。
だから、
|→ＡＨ|＝√{(－２／５)2＋(－４／５)2}
＝√(４／２５＋１６／２５)
＝√(２０／２５)
＝√２０／５
＝２√５／５
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ベクトルまとめ
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