高校数学「数列」ａn，ｂnを組み合わせた漸化式�@

高校数学「数列」ａn，ｂnを組み合わせた漸化式�@

◆問題

次の条件によって定められる数列{ａn}，{ｂn}がある。

ａ₁＝１，ｂ₁＝３，ａ_n+1＝３ａ_n＋２ｂ_n，ｂ_n+1＝２ａ_n＋３ｂ_n

(1) 数列{ａ_n＋ｂ_n}の一般項を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

ａ₁＝１，ｂ₁＝３，ａ_n+1＝３ａ_n＋２ｂ_n，ｂ_n+1＝２ａ_n＋３ｂ_n

ａ_n+1もｂ_n+1も、ちょっとややこしい形になっています。
いきなり方針が見えている人はあまりいないと思うので、まずはできることをやってみましょう！

数列{ａ_n＋ｂ_n}を求めたいので、なるべく近い形の式を作ります。

ａ_n+1とｂ_n+1の式をそのまま足せば、それっぽい式になりそうですね。

　　ａ_n+1＝３ａ_n＋２ｂ_n
＋）ｂ_n+1＝２ａ_n＋３ｂ_n
―――――――――――――――――
ａ_n+1＋ｂ_n+1＝５ａ_n＋５ｂ_n
ａ_n+1＋ｂ_n+1＝５(ａ_n＋ｂ_n)

これはつまり、ａ_n＋ｂ_nに５をかけたらａ_n+1＋ｂ_n+1になる。という意味の式ですね。
ということは、この数列は等比数列で、公比は５である。とわかります。

そして、ａ1＋ｂ1＝１＋３＝４だから、初項は４です。

ということで、求める一般項は、

ａ_n＋ｂ_n＝４・５^n-1


次の問題→ａ_n−ｂ_n


◆関連項目
ａ_n+1＝３ａ_n−２，ａ₁＝２で表される数列の一般項、漸化式で表された等差数列、漸化式で表された等比数列
数列まとめ


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