■ 問題
第１０項までの和が６，第２０項までの和が２４の等比数列が{ａn}がある。ただし、初項、公比は実数とする。
(1) 数列{ａn}の第３０項までの和を求めよ。
解答解説はこのページ下
解法の習得に役立つ問題集です。
１０秒でわかる！高校数学２Ｂ数列の考え方
■ 解答解説
まずは問題の設定からわかることを式に表してみましょう！
初項と公比はわかっていないので、ａ，ｒとして式を立ててみます。
Ｓ10＝ａ(ｒ10－１)／(ｒ－１)＝６
Ｓ20＝ａ(ｒ20－１)／(ｒ－１)＝２４
そのまんまですが、こんな式が立てられますね。
１０次式、２０次式などとなっているのを見て諦めたくなってしまう人もいると思いますが、ちょっと工夫すると意外と簡単(?)です。
(ｒ10)2＝ｒ20であることを利用して、Ｓ20の式を因数分解してみましょう！
ａ(ｒ20－１)／(ｒ－１)
＝ａ(ｒ10－１)(ｒ10＋１)／(ｒ－１)
もちろんこのように変形することができます。
そして、この式の中にはＳ10と共通する部分がありますね！
＝{ａ(ｒ10－１)／(ｒ－１)}(ｒ10＋１)
このように書き換えてみると、中括弧の中がＳ10と全く同じです。
つまり、
＝６(ｒ10＋１)
と置き換えることができます。
さらに、Ｓ20＝２４だから、
６(ｒ10＋１)＝２４
ｒ10＋１＝４
ｒ10＝３
ここまでわかったことを活用すれば、Ｓ30も何とかなりそうですね！
まずはＳ30を表します。
Ｓ30＝ａ(ｒ30－１)／(ｒ－１)
もちろんこうなります。因数分解してみると、
＝ａ(ｒ10－１)(ｒ20＋ｒ10＋１)／(ｒ－１)
３乗の因数分解の公式を使ってみました。
Ｓ20のときと同様に、Ｓ10に置き換えられそうですね！
＝{ａ(ｒ10－１)／(ｒ－１)}(ｒ20＋ｒ10＋１)
これまた中括弧の中身はＳ10と同じです。
また、ｒ10＝３がわかっているので、それぞれ置き換えて計算してみましょう！
＝６(３2＋３＋１)
＝６(９＋４)
＝６×１３
＝７８
次の問題→第３１項から第４０項までの和
◆関連項目
第３項が２７，第６項が－７２９である等比数列の一般項
等比数列の和
数列まとめ
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ラベル：数学
