◆問題
→a=(1,2,3),→b=(2,−1,1)とする。|→a+t(→b)|の最小値とそのときのtの値を求めよ。ただし、tは実数とする。
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◆解答解説
→a=(1,2,3),→b=(2,−1,1)とする。|→a+t(→b)|の最小値
平面のベクトルのときと同じように、とにかく→a+t(→b)を表し、その絶対値を表せばOKです。
→a+t(→b)=(1,2,3)+t(2,−1,1)
=(1+2t,2−t,3+t)
空間のベクトルの絶対値も、平面のときと同様に「2乗して合計して√」です。
絶対値の2乗で計算すると、√が消えるので、2乗した式でやっていきます。
|→a+t(→b)|2
=(1+2t)2+(2−t)2+(3+t)2
=1+4t+4t2+4−4t+t2+9+6t+t2
=6t2+6t+14
2次式になったので、2次関数の最大最小と考えて、平方完成していきます。
=6(t2+t)+14
=6{(t+1/2)2−1/4}+14
=6(t+1/2)2−3/2+14
=6(t+1/2)2+25/2
この「2次関数の頂点」は、(−1/2,25/2)です。
2乗した式で計算してこうなったので、最小値は√(25/2)=5/√2=5√2/2となります。
このときのtの値はそのまま−1/2ですね。
よって、t=−1/2のとき最小値5√2/2
◆関連問題
平面のとき
ベクトルまとめ
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