◆問題
第４問
Ａ 図１のように、水平でなめらかな床面上で、質量ｍ，速さｖの小物体Ａを点Ｏで静止していた質量３ｍの小物体Ｂに衝突させた。衝突後、小物体Ａは小物体Ｂと合体して質量４ｍの小物体Ｃとなり、速さはＶとなった。その後、小物体Ｃは半径ｒのなめらかな円筒の内面に沿って運動した。ただし、小物体Ａ，Ｂ，Ｃは全て同じ鉛直面内で運動し、円筒の中心軸はこの鉛直面に垂直であるとする。また、点Ｐは円筒の内面の最高点を表し、重力加速度の大きさをｇとする。
問１ 合体直後の小物体Ｃの速さＶを表す式として正しいものを、次の①～⑤のうちから一つ選べ。Ｖ＝[ 1 ]
① (１／４)ｖ ② (１／２)ｖ ③ ｖ ④ ２ｖ ⑤ ４ｖ
問２ 小物体Ｃが円筒の内面に沿って点Ｐを通過するために必要なＶの最小値を表す式として正しいものを、次の①～⑤のうちから一つ選べ。[ 2 ]
① √(３ｇｒ) ② √(４ｇｒ) ③ √(５ｇｒ) ④ √(６ｇｒ) ⑤ √(７ｇｒ)
(2)の解答はこのページ下に掲載します。
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◆解答解説
問２ 小物体Ｃが円筒の内面に沿って点Ｐを通過するために必要なＶの最小値を表す式として正しいものを、次の①～⑤のうちから一つ選べ。[ 2 ]
① √(３ｇｒ) ② √(４ｇｒ) ③ √(５ｇｒ) ④ √(６ｇｒ) ⑤ √(７ｇｒ)
続いて、小物体Ｃがぐるりと円筒の内面に沿って回って最高点Ｐを通過するために必要なＶの値を求めます。
円筒面をぐるっとまわるということは、最高点Ｐで物体の速さがゼロになるわけではないことに注意が必要です。
まず大前提として、円筒の内面も「なめらか」なので、摩擦はゼロで、力学的エネルギーは保存する。と考えられます。
基準面を床面と考えて式を立ててみます。
まず、円筒にさしかかった瞬間の力学的エネルギーは、運動エネルギーのみ(位置エネルギーはゼロ)だから、(１／２)・４ｍＶ2＝２ｍＶ2ですね。
そして、円運動をしている間の力学的エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの和です。
円筒面上を回転角θだけ回ったときのＣの位置をＱとすると、Ｑの高さはｒ－ｒｃｏｓθ＝ｒ(１－ｃｏｓθ)となります。
このときの位置エネルギーは４ｍｇｒ(１－ｃｏｓθ)ですね。
Ｑのときの速さは与えられていないので仮にｕとすれば、このときの力学的エネルギーは
(１／２)・４ｍｕ2＋４ｍｇｒ(１－ｃｏｓθ)となります。
つまり、２ｍｕ2＋４ｍｇｒ(１－ｃｏｓθ)
そして、ギリギリ点Ｐを通過する条件は何かといえば、点Ｐでちょうど垂直抗力がゼロになる。ということですね。
小物体Ｃが円筒面から受ける垂直抗力とＣが受ける重力の中心方向の成分の和が円運動の向心力になるので、
Ｆ＝４ｍｕ2／ｒ＝Ｎ＋４ｍｇｃｏｓ(１８０°－θ)＝Ｎ－４ｍｇｃｏｓθ
つまり、４ｍｕ2＝ｒ(Ｎ－４ｍｇｃｏｓθ)となります。
これを力学的エネルギーの式に代入すれば、
２ｍＶ2＝(１／２)ｒ(Ｎ－４ｍｇｃｏｓθ)＋４ｍｇｒ(１－ｃｏｓθ)
となります。
垂直抗力はちょうどゼロで、Ｐではθ＝１８０°だから、ｃｏｓ１８０°＝－１をそれぞれ代入して計算すると、
２ｍＶ2＝(１／２)ｒ{０－４ｍｇ・(－１)}＋４ｍｇｒ{１－(－１)}
２Ｖ2＝２ｒ・ｇ＋８ｇｒ
２Ｖ2＝１０ｇｒ
Ｖ2＝５ｇｒ
Ｖ＞０だから、Ｖ＝√(５ｇｒ)
つまり、③が正解となります！
◆関連項目
等加速度運動
力～エネルギー、力のモーメントなど
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