高校数学「二項定理」１１^11を１００で割ったときのあまり

高校数学「二項定理」１１¹¹を１００で割ったときのあまり

◆問題

１１¹¹を１００で割ったときのあまりを求めよ。


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◆解答解説

まともに１１¹¹を計算すれば出なくはないですが、とんでもなく大きな数になってしまい、現実的ではないと思います。
そこでどうするかというと、「二項定理」を使います。

例えば、(ａ＋ｂ)⁵を展開したときの、ａ²ｂ³の係数を求める場合に使うアレです。

１１＝(１０＋１)と考えると、

１１¹¹＝(１０＋１)¹¹

ですね。
これを展開すれば、最初の項は

11Ｃ11・１０¹¹・１⁰

と表すことができます。
同様にして展開した式を表していくと・・・

＝11Ｃ11・１０¹¹・１⁰＋11Ｃ10・１０¹⁰・１¹＋11Ｃ9・１０⁹・１²＋・・・

このようになります。

例えば最初の項に注目すると、１０の１１乗が含まれているから、１００で割ってもあまりは出ません。
２つめの項は１０の１０乗が含まれているので、やはり１００で割りきれます。
３つめの項は１０の９乗が・・・

このように、１０が２回以上かけてある項は必ず１００で割りきれますね。
今回の問題では、１００で割ったあまりを聞いているので、１００で割りきれる項については、無視してしまって構わないことになります。

ということは、この展開式の最後の２つの項のみ考えればよい。とわかります。
やってみると、

　11Ｃ1・１０¹・１¹⁰＋11Ｃ0・１０⁰・１¹¹
＝１１・１０・１＋１・１・１
＝１１０＋１
＝１１１

ですね。
これを割ったときのあまりは１１だから、求める余りは１１となります。


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