高校数学「確率統計」Ｅ(Ｘ＋Ｙ)，Ｅ(ＸＹ)，Ｖ(Ｘ＋Ｙ)

高校数学「確率統計」Ｅ(Ｘ＋Ｙ)，Ｅ(ＸＹ)，Ｖ(Ｘ＋Ｙ)

◆問題

赤球４個と白球２個が入った袋がある。この袋から球を２個取り出し色を調べて袋に戻すことを２回行うとする。１回目に取り出した赤球の個数をＸ個、２回目に取り出した赤球の個数をＹ個とするとき、Ｅ(Ｘ＋Ｙ)，Ｅ(ＸＹ)，Ｖ(Ｘ＋Ｙ)をそれぞれ求めよ。


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◆解答解説

赤球４個と白球２個が入った袋がある。この袋から球を２個取り出し色を調べて袋に戻すことを２回行うとする。１回目に取り出した赤球の個数をＸ個、２回目に取り出した赤球の個数をＹ個とするとき、Ｅ(Ｘ＋Ｙ)，Ｅ(ＸＹ)，Ｖ(Ｘ＋Ｙ)をそれぞれ求めよ。

「袋に戻す」ので、１回目と２回目の赤球の数は独立しています。
ということは、Ｅ(Ｘ)，Ｅ(Ｙ)，Ｖ(Ｘ)，Ｖ(Ｙ)をそれぞれ求めて後で組み合わせればよい。という方針です。


まずはＸの確率を考えます。
２個取り出すから、Ｘは０，１，２のどれかになります。

Ｐ(０)＝2Ｃ2／6Ｃ2＝１／{(６・５)／(２・１)}＝１／１５
Ｐ(１)＝(２・４)／6Ｃ2＝８／１５
Ｐ(２)＝4Ｃ2／6Ｃ2＝{(４・３)／(２・１)}／１５＝６／１５

ということは、Ｅ(Ｘ)＝０×１／１５＋１×８／１５＋２×６／１５＝２０／１５＝４／３

となります。
球は袋に戻すので２回目も袋の中の球の数は同じだから、Ｅ(Ｘ)＝Ｅ(Ｙ)＝４／３となります。

続いてＶ(Ｘ)とＶ(Ｙ)を求めておきます。

Ｖ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ²)−{Ｅ(Ｘ)}²

だから、ここまで求めたものを利用すると、

Ｖ(Ｘ)＝０²×１／１５＋１²×８／１５＋２²×６／１５−(４／３)²
　　＝０＋８／１５＋２４／１５−１６／９
　　＝３２／１５−１６／９
　　＝９６／４５−８０／４５
　　＝１６／４５

分散についても、確率分布が同じだから、Ｖ(Ｘ)＝Ｖ(Ｙ)ですね。
あとは聞いているものをそれぞれ求めます。

Ｅ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｅ(Ｘ)＋Ｅ(Ｙ)＝４／３＋４／３＝８／３

Ｅ(ＸＹ)＝Ｅ(Ｘ)・Ｅ(Ｙ)＝(４／３)・(４／３)＝１６／９

Ｖ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｖ(Ｘ)＋Ｖ(Ｙ)＝１６／４５＋１６／４５＝３２／４５


確率統計まとめ


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