【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2024年共通テスト数１Ａより
第４問
Ｔ３，Ｔ４，Ｔ６を次のようなタイマーとする。
Ｔ３：３進数を３桁表示するタイマー
Ｔ４：４進数を３桁表示するタイマー
Ｔ６：６進数を３桁表示するタイマー
なお、ｎ進数とはｎ進法で表された数のことである。
これらのタイマーは、全て次の[表示方法]に従うものとする。
┌――[表示方法]―――――――――――――――――――――――――――――┐
｜(a) スタートした時点でタイマーは０００と表示されている。 ｜
｜(b) タイマーは、スタートした後、表示される数が１秒ごとに１ずつ増えて ｜
｜ いき、３桁で表示出る最大の数が表示された１秒後に、表示が０００に戻る。｜
｜(c) タイマーは表示が０００に戻った後も、(b)と同様に、表示される数が１秒 ｜
｜ ごとに１ずつ増えていき、３桁で表示できる最大の数が表示された１秒後に、｜
｜ 表示が０００に戻るという動作を繰り返す。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
Ｔ３
┌―――――┐１秒後┌―――――┐
｜ ０１１ ｜ → ｜ ０１２ ｜
└―――――┘ └―――――┘
参考図
例えば、Ｔ３はスタートしてから３進数で１２(3)秒後に０１２と表示される。
その後、２２２と表示された１秒後に表示が０００に戻り、その１２(3)秒後に
再び０１２と表示される。
(1) Ｔ６は、スタートしてから１０進数で４０秒後に[アイウ]と表示される。
Ｔ４は、スタートしてから２進数で１００１１(2)秒後に[エオカ]と表示される。
(2) Ｔ４をスタートさせた後、初めて表示が０００に戻るのは、スタートしてから
１０進数で[キク]秒後であり、その後も[キク]秒ごとに表示が０００に戻る。
同様の考察をＴ６に対しても行うことにより、Ｔ４とＴ６を同時にスタートさせた
後、初めて両方の表示が同時に０００に戻るのは、スタートしてから１０進数で
[ケコサシ]秒後であることがわかる。
(3) ０以上の整数ｌに対して、Ｔ４をスタートさせたｌ秒後にＴ４が０１２と表示
されることと
ｌを[スセ]で割った余りが[ソ]であること
は同値である。ただし、[スセ]と[ソ]は１０進法で表されているものとする。
Ｔ３についても同様の考察を行うことにより、次のことがわかる。
Ｔ３とＴ４を同時にスタートさせてから、初めて両方が同時に０１２と表示される
までの時間をｍ秒とするとき、ｍは１０進法で[タチツ]と表される。
また、Ｔ４とＴ６の表示に関する記述として、次の{0}〜{3}のうち、正しいものは
[テ]である。
[テ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｔ４とＴ６を同時にスタートさせてからｍ秒後より前に初めて両方が同時に｜
｜ ０１２と表示される。 ｜
｜{1} Ｔ４とＴ６を同時にスタートさせてから、ちょうどｍ秒後に初めて両方が ｜
｜ 同時に０１２と表示される。 ｜
｜{2} Ｔ４とＴ６を同時にスタートさせてから、ｍ秒後より後に初めて両方が同時｜
｜ に０１２と表示される。 ｜
｜{3} Ｔ４とＴ６を同時にスタートさせてから、両方が同時に０１２と表示される｜
｜ ことはない。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、上付き下付きの数字は半角で、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 数学１Ａ第４問は「整数の性質」
◆２ ３進数なら各位の最大の数は２
◆３ ６進数は６で割ってあまりを見る
(以下略)
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■ 解説
◆１ 数学１Ａ第４問は「整数の性質」
2024年共通テストも、数学１Ａ第４問は、整数の性質に関する問題でした。
整数の性質で出題される事項は、
約数・倍数、公約数・公倍数
ユークリッドの互除法
不定方程式
ｎ進法
などです。
今回は特にｎ進法についての出題でした。
ブログにはこれらの内容の解説を掲載していますので、このメルマガとあわせて
ご利用ください。
整数の性質まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/496963599.html
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◆２ ３進数なら各位の最大の数は２
まずは問題の設定を確認していきましょう！
Ｔ３，Ｔ４，Ｔ６という３つのタイマーがあり、それぞれに対応したｎ進数の
表示がされる。というものですね。
「最大の数」を表示したら次は０００に戻るのは３つとも共通ですが、ｎ進数での
最大の数だから、９９９ではないことに注意しておきましょう。
３進数なら「２２２」、４進数なら「３３３」、６進数なら「５５５」が最大の数
ですね。
普段使っている１０進数は「各位の数が１０になると繰り上がる」という表記方法
です。同様に考えれば、３進数なら「３になると繰り上がる」ので、各位の最大の
数は２となります。
同様に、４進数なら「４になると繰り上がる」ので、各位の最大の数は３，
６進数なら「６になると繰り上がる」ので、各位の最大の数は５です。
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◆３ ６進数は６で割ってあまりを見る
では(1)の問題を考えていきましょう！
「Ｔ６は、スタートしてから１０進数で４０秒後に[アイウ]と表示される」
つまり、６進数で４０(10)はどう表されるか？という設問ですね。
１０進数を６進数に直すなら・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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ラベル：数学
