【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2024年共通テスト数２Ｂより
第５問
点Ｏを原点とする座標空間に４点Ａ(２，７，－１)，Ｂ(３，６，０)，
Ｃ(－８，１０，－３)，Ｄ(－９，８，－４)がある。Ａ，Ｂを通る直線をｌ1とし、
Ｃ，Ｄを通る直線をｌ2とする。
(1)
→ＡＢ＝([ア]，[イウ]，[エ])
であり、→ＡＢ・→ＣＤ＝[オ]である。
(2) 花子さんと太郎さんは、点Ｐがｌ1上を動くとき、|→ＯＰ|が最小となるＰの
位置について考えている。
Ｐがｌ1上にあるので、→ＡＰ＝ｓ・→ＡＢを満たす実数ｓがあり、→ＯＰ＝[カ]
が成り立つ。
|→ＯＰ|が最小となるｓの値を求めればＰの位置が求まる。このことについて、
花子さんと太郎さんが話をしている。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜花子：|→ＯＰ|^2が最小となるｓの値を求めればいいよね。 ｜
｜太郎：|→ＯＰ|が最小となるときの直線ＯＰとｌ1の関係に着目してもよさそう ｜
｜ だよ。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
|→ＯＰ|^2＝[キ]ｓ^2－[クケ]ｓ＋[コサ]である。
また、|→ＯＰ|が最小となるとき、直線ＯＰとｌ1の関係に着目すると[シ]が成り
立つことがわかる。
花子さんの考え方でも、太郎さんの考え方でも、ｓ＝[ス]のとき|→ＯＰ|が最小と
なることがわかる。
[カ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｓ・→ＡＢ {1} ｓ・→ＯＢ ｜
｜{2} →ＯＡ＋ｓ・→ＡＢ {3} (１－２ｓ)・→ＯＡ＋ｓ・→ＯＢ ｜
｜{4} (１－ｓ)・→ＯＡ＋ｓ・→ＡＢ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[シ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} →ＯＰ・→ＡＢ＞０ {1} →ＯＰ・→ＡＢ＝０ ｜
｜{2} →ＯＰ・→ＡＢ＜０ {3} |→ＯＰ|＝|→ＡＢ| ｜
｜{4} →ＯＰ・→ＡＢ＝→ＯＢ・→ＡＰ {5} →ＯＢ・→ＡＰ＝０ ｜
｜{6} →ＯＰ・→ＡＢ＝|→ＯＰ||→ＡＢ| ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) 点Ｐがｌ1上を動き、点Ｑがｌ2上を動くとする。このとき、線分ＰＱの長さが
最小になるＰの座標は([セソ]，[タチ]，[ツテ])，Ｑの座標は
([トナ]，[ニヌ]，[ネノ])である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 空間でも平面でも公式は同じ
◆２ ベクトルは「終点－始点」
◆３ 内積ならそれぞれかけて合計
(以下略)
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■ 解説
◆１ 空間でも平面でも公式は同じ
2024年共通テスト数学２Ｂ第５問は空間のベクトルでした。
「平面なら何とかなるけど、空間だとちょっと・・・」という人もいると思います
が、パラメーターが１つ増えただけで、基本的な公式は平面でも空間でも共通です。
「空間だとわからなくなってしまう」という人は、実は平面の理解が不十分かも
知れません。まずは平面のベクトルを完璧にしてみてはいかがでしょうか？
●ベクトルの和・差
●ベクトルの成分、大きさ
●内積、なす角、平行条件・垂直条件
●面積
●位置ベクトル
●媒介変数表示
●ベクトル方程式
主なポイントを挙げてみました。これら全てすぐに「あー、アレだな！」とわかる
ようにしておきましょう！
基本事項の解説等はブログをご利用ください。
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◆２ ベクトルは「終点－始点」
では早速今回の問題です。
まず、４点Ａ(２，７，－１)，Ｂ(３，６，０)，Ｃ(－８，１０，－３)，
Ｄ(－９，８，－４)があって、Ａ，Ｂを通る直線ｌ1、Ｃ，Ｄを通る直線ｌ2があり
ます。
このような条件で、→ＡＢを求めます。
ベクトルは「終点－始点」で求めることができるので、
→ＡＢ＝(３，６，０)－(２，７，－１)＝(１，－１，１)
ですね。
よって、[ア]＝１，[イウ]＝－１，[エ]＝１
ついでに、→ＣＤも求めておきましょう！
→ＣＤ＝(－９，８，－４)－(－８，１０，－３)＝(－１，－２，－１)
ですね！
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◆３ 内積ならそれぞれかけて合計
次は→ＡＢと→ＣＤの内積を求めます。
空間でも平面と基本的に同じで、それぞれのベクトルの成分を使って内積を求める
ことができます。
→ａ＝(ｘ1，ｙ1，ｚ1)，→ｂ＝(ｘ2，ｙ2，ｚ2)とすると、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
