高校数学「図形と方程式」円によって切り取られる線分

高校数学「図形と方程式」円によって切り取られる線分

◆問題

直線ｙ＝２ｘ＋５が円ｘ²＋ｙ²＝１６によって切り取られる線分の長さを求めよ。


円と直線に関するちょっとした応用問題です。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

「切り取られる線分」とは、要するに、円と直線の交点から交点までの間の線分のことです。

「交点から交点まで」だから、まずは交点の座標を求めます。

交点なら連立ですね！

というわけで、直線の式を円の式に代入すると、

ｘ²＋(２ｘ＋５)²＝１６

ｘについての２次方程式になったので、普通に解きます。

ｘ²＋４ｘ²＋２０ｘ＋２５＝１６
　　５ｘ²＋２０ｘ＋９＝０

ｘ＝[−２０±√{４００−４・５・９}]／(２・５)
　＝{−２０±√(４００−１８０)}／１０
　＝(−２０±√２２０)／１０
　＝(−２０±２√５５)／１０
　＝(−１０±√５５)／５

数字がちょっと大変な数になってしまったので、少し工夫します。
この解をα，βとすれば、交点のｘ座標はα，βです。
ｙ座標はそれぞれ２α＋５，２β＋５ですね。
この２点間の距離が、求める線分の長さです。だから、

ｄ＝√{(β−α)²＋(２β＋５−２α−５)²}
　＝√(α²−２αβ＋β²＋４α²−８αβ＋４β²}
　＝√(５α²−１０αβ＋５β²)
　＝√{５(α²−２αβ＋β²)}
　＝√{５(α−β)²
　＝|α−β|・√５

α−β＝(−１０＋√５５)／５−(−１０−√５５)／５
　　＝２√５５／５

だから、

ｄ＝(２√５５／５)・√５
　＝１０√１１／５
　＝２√１１


たぶん、普通の模範解答には他の方法が載っていると思います。
機会があればこのブログでも「模範的な」方法の解き方を掲載するかも？


◆関連項目
円の方程式
図形と方程式まとめ


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