高校数学「高次方程式」(ｘ2−ｘ)2−５(ｘ2−ｘ)＋６＝０

高校数学「高次方程式」(ｘ²−ｘ)²−５(ｘ²−ｘ)＋６＝０

◆問題

次の方程式を解け。

(ｘ²−ｘ)²−５(ｘ²−ｘ)＋６＝０


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

今回の方程式は、２次式を２乗しているので、すなわち４次式です。
「ならばいったん展開して因数定理を・・・」と考えてももちろん間違いではありませんが、因数定理を使って高次方程式を解くのはちょっと面倒なので、他の方法ができないか少し考えてから、もし何も見つからなければ因数定理。という手順が良いです。

すでに気付いている人も多いと思いますが、今回の方程式は展開せすに、カッコの中身をＡなどとおいて、できるだけ式を変形した方が良いです。

(ｘ²−ｘ)²−５(ｘ²−ｘ)＋６＝０
Ａ²−５Ａ＋６＝０

このようにすることができます。
つまり、Ａについての２次式と見ることができますね。
普通に因数分解すると、

(Ａ−２)(Ａ−３)＝０

ここでＡを戻せば、

(ｘ²−ｘ−２)(ｘ²−ｘ−３)＝０

カッコの中身がそれぞれゼロになればこの方程式は成り立ちます。すなわち、

ｘ²−ｘ−２＝０，ｘ²−ｘ−３＝０

です。
それぞれ解くと、

ｘ²−ｘ−２＝０
(ｘ＋１)(ｘ−２)＝０
ｘ＝−１，２

ｘ²−ｘ−３＝０
ｘ＝[−(−１)±√{(−１)²−４・１・(−３)}]／２
　＝{１±√(１＋１２)}／２
　＝(１±√１３)／２

というわけで、求める解は

ｘ＝−１，２，(１±√１３)／２


４次式だから、解は基本的に４つ出ることも意識しておくと良いでしょう！


◆関連項目
因数定理・高次方程式まとめ


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