2024年06月04日

高校数学「図形と方程式」直線に接する円の方程式

高校数学「図形と方程式」直線に接する円の方程式

◆問題

中心が(−1,2)で、直線4x+3y−12=0に接する円の方程式を求めよ。


円の方程式に関するちょっとした応用問題です。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

中心が(−1,2)で、直線4x+3y−12=0に接する円の方程式を求めよ。

言うまでもないかも知れませんが、直線に円が接している場合の問題です。
直線は円の接線なので、円と接線に関する定理が成り立ちます。

いくつかありますが、この場合に使うのは・・・

「接線と接点に引いた半径は垂直に交わる」という性質です。

つまり、直線と半径は垂線になっているので、中心と直線との間の距離が、円の半径になる。というわけです。

中心と直線の間の距離は、「点と直線の距離の公式」で求められますね!

d=|ax1+by1+c|/√(a2+b2)

というアレです!
これに、a=4,b=3,x1=−1,y1=2を代入すると、

d=|4・(−1)+3・2−12|/√{42+32}
 =|10|/√25
 =10/5
 =2

つまり、半径は2です。
中心は問題で与えられているように、(−1,2)だから、求める方程式ができますね!

(x+1)2+(y−2)2=4


◆関連項目
円の方程式点と直線の距離
図形と方程式まとめ


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ラベル:数学
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