◆問題
３次方程式ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋１０＝０が１＋２ｉを解に持つとする。ａ，ｂを実数とするとき、ａ，ｂの値と他の解を求めよ。
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◆解答解説
３次方程式ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋１０＝０が１＋２ｉを解に持つとする。
方程式の解が与えられていて、係数と他の解を求める問題です。
解はｘの値だから、代入して計算すればＯＫです！
(１＋２ｉ)3＋ａ(１＋２ｉ)2＋ｂ(１＋２ｉ)＋１０
＝１＋３・１2・２ｉ＋３・１・(２ｉ)2＋(２ｉ)3＋ａ{１＋２・２ｉ＋(２ｉ)2}＋ｂ＋２ｂｉ＋１０
＝１＋６ｉ＋１２ｉ2＋８ｉ3＋ａ＋４ａｉ＋４ｉ2ａ＋ｂ＋２ｂｉ＋１０
＝１＋６ｉ－１２－８ｉ＋ａ＋４ａｉ－４ａ＋ｂ＋２ｂｉ＋１０
＝１－１２＋ａ－４ａ＋ｂ＋１０＋(６－８＋４ａ＋２ｂ)ｉ
＝－３ａ＋ｂ－１＋(４ａ＋２ｂ－２)ｉ
左辺を計算したらこのようになりました。
これがイコールゼロなので、(実部)＝０，(虚部)＝０です。
つまり、
－３ａ＋ｂ－１＝０ ・・・①
４ａ＋２ｂ－２＝０ ・・・②
ですね。
あとはこれらの連立方程式を解けば、ａ，ｂがわかり、ａ，ｂがわかれば方程式の解も出る。というわけです！
①×２ －６ａ＋２ｂ－２＝０
② －）４ａ＋２ｂ－２＝０
――――――――――――
－１０ａ ＝０
ａ＝０
①にａ＝０を代入して、
ｂ－１＝０
ｂ＝１
よって、方程式は、ｘ3＋ｘ＋１０＝０であることがわかりました。
普通に３次方程式なので、因数定理を用いて解けばＯＫです。
ｘ＝－２のとき(左辺)＝０だから、この方程式はｘ＝－２を解に持ちます。
そして、係数は実数なので、残り１つの解は１＋２ｉの共役な複素数になります。
つまり、１－２ｉです。
まとめると、「ａ＝０，ｂ＝１，残りの解はｘ＝－２，１－２ｉ」ですね！
◆関連項目
３次方程式ｘ3＋ａｘ2－ｘ－６＝０の解の１つが２のとき
因数定理・高次方程式まとめ
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