高校数学「三角比」ａ＝４，ｂ＝５，ｃ＝６の△ＡＢＣの内接円の半径

高校数学「三角比」ａ＝４，ｂ＝５，ｃ＝６の△ＡＢＣの内接円の半径

◆問題

ａ＝４，ｂ＝５，ｃ＝６の△ＡＢＣの内接円の半径を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

ａ＝４，ｂ＝５，ｃ＝６の△ＡＢＣの内接円の半径

三角形の内接円とは、三角形の３辺全てに接する円です。
だから当然ですが、三角形の３辺は内接円の接線になります。
そして、接線ならば接線の性質が成り立つ。ということができます。

ここでは、円の接線の性質のうち、「円の中心から接点に引いた半径と接線は垂直に交わる」という性質を使います。

円の中心と接点を結ぶと、三角形の辺に対する垂線になります。
円の中心と△ＡＢＣの頂点をそれぞれ結べば、△ＡＢＣは内接円の半径を高さとする３つの三角形に分割できる。というわけです。
だから、△ＡＢＣ＝Ｓとすると、

Ｓ＝(１／２)ａｒ＋(１／２)ｂｒ＋(１／２)ｃｒ＝(１／２)ｒ(ａ＋ｂ＋ｃ)

となります。
ａ，ｂ，ｃは与えられているので、面積さえわかれば、ｒが求められますね！
面積はヘロンの公式を使って求めることもできますが、まずは余弦定理を使って出せるようにしておいた方がよいです。
というわけで、ここでは「余弦定理→面積の公式」という流れでやっていきます。

余弦定理より、ａ²＝ｂ²＋ｃ²−２ｂｃ・ｃｏｓＡだから、ｃｏｓＡ＝(ｂ²＋ｃ²−ａ²)／２ｂｃ
ｃｏｓＡ＝(５²＋６²−１６²)／(２・５・６)
　　　　＝(２５＋３６−１６)／６０
　　　　＝４５／６０
　　　　＝３／４

三角比の相互関係より、ｓｉｎ²Ａ＋ｃｏｓ²Ａ＝１だから、
ｓｉｎ²Ａ＋(３／４)²＝１
ｓｉｎ²Ａ＝１−９／１６
ｓｉｎ²Ａ＝７／１６
ｓｉｎＡ＝√７／４

三角形の面積の公式より、Ｓ＝(１／２)ｂｃ・ｓｉｎＡだから、
Ｓ＝(１／２)・５・６・√７／４
　＝１５√７／４

というわけで、

１５√７／４＝(１／２)ｒ(４＋５＋６)
　１５√７＝２ｒ・１５
　　　２ｒ＝√７
　　　　ｒ＝√７／２

ちなみに、ヘロンの公式を使えば、余弦定理〜三角形の面積の公式までの計算を省略できますが、模試や入試などではたいてい、その他のこともあわせて聞かれるので、結局この手順になってしまうことが多いです。


類題→ａ＝５，ｂ＝４，ｃ＝３のとき


◆関連項目
∠Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝６の三角形ＡＢＣの面積
三角比まとめ

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