◆問題
点Ｑが円ｘ2＋ｙ2＝４上を動くとき、３点Ａ(５，１)，Ｂ(１，－４)，Ｑを頂点とする△ＡＢＱの重心Ｐの軌跡を求めよ。
軌跡に関する少し難しい問題です。
昨日の直線上の点の問題と、コレが主な２パターンになります。
↓解答解説はお知らせの下に↓
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◆解答解説
軌跡の問題では、基本的には点Ｐを(ｘ，ｙ)とおきます。
そして点Ｐ以外に移動する点があれば、それも文字で置きます。
例えば、Ｑ(ｓ，ｔ)とするのが標準的だと思います。
今回の問題も、この置き方でやっていきます。
Ｑはｘ2＋ｙ2＝４上の点なので、円の式に代入することができますね。
つまり、ｓ2＋ｔ2＝４です。
今回はこの時点ではｓとｔを消去できないので、続いて他の条件に従って式を立てます。
Ｐは△ＡＢＱの重心という条件があります。
重心の公式に従って式を作ることができそうですね！
重心は座標の平均なので、
ｘ＝(５＋１＋ｓ)／３＝(６＋ｓ)／３，ｙ＝(１－４＋ｔ)／３＝(－３＋ｔ)／３
このような式を作ることができます。
それぞれｓ，ｔについて解くと、
６＋ｓ＝３ｘより、ｓ＝３ｘ－６
－３＋ｔ＝３ｙより、ｔ＝３ｙ＋３
ここまで作った式を確認してみると・・・
ｓ，ｔを円の式に代入すれば、ｓ，ｔが消去できて、ｘ，ｙの式ができそうですね！
やってみましょう！
(３ｘ－６)2＋(３ｙ＋３)2＝４
一度展開してまとめてもいいのですが、これは円の方程式だと先に推定しておけば、ｘ，ｙの係数が消えるように両辺を割れば良いことがわかると思います。
両辺を９で割れば、
(ｘ－２)2＋(ｙ＋１)2＝４／９
割とノーマルな円の式ができあがりましたね！
よって求める軌跡は、
中心(２，－１)，半径２／３の円
です！
◆関連項目
２点Ｏ(０，０)，Ａ(６，０)からの距離の比が２：１である点Ｐの軌跡
軌跡の立式の仕方
図形と方程式まとめ
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ラベル：数学
