高校数学「図形と方程式」(ｘ2−ｙ−１)(ｘ＋ｙ−１)≧０の表す領域

高校数学「図形と方程式」(ｘ²−ｙ−１)(ｘ＋ｙ−１)≧０の表す領域

◆問題
次の不等式の表す領域を図示せよ。

(3) (ｘ²−ｙ−１)(ｘ＋ｙ−１)≧０


領域のちょっと難しい問題です。
この記事ではグラフは省略します。どのような範囲になるか文章で説明します。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

不等式の表す領域を求めるときは、

「まずは境界線となるグラフを描く→その境界線に対してどちら側かを調べる」

という流れで考えます。


今回の問題では、「 (ｘ²−ｙ−１)(ｘ＋ｙ−１)≧０」という不等式が与えられています。
つまり、「(ｘ²−ｙ−１)と(ｘ＋ｙ−１)≧０を掛けたらゼロ以上」ですね。

２つの数(式)を掛けてゼロ以上になるのは、２つの数が同符号の場合です。
ということは、両方プラスか両方マイナスの２パターンです。

ｘ²−ｙ−１≧０，ｘ＋ｙ−１≧０またはｘ²−ｙ−１≦０，ｘ＋ｙ−１≦０

２次関数と１次関数の組み合わせですが、それぞれの線の上か下かを考えることは、前回の問題と変わりません。

まずは両方プラスの場合。
ｘ²−ｙ−１≧０，ｘ＋ｙ−１≧０
これらをそれぞれｙについて解くと、

ｘ²−ｙ−１≧０
　　　　−ｙ≧−ｘ²＋１
　　　　　ｙ≦ｘ²−１

ｘ＋ｙ−１≧０
　　　　ｙ≧−ｘ＋１

というわけで、「２次関数の下＆１次関数の上」です。


両方マイナスの場合は、これらがどちらも逆なので、「２次関数の上＆１次関数の下」です。


そして、これら２の領域を１つの座標平面上に示し、「境界線を含む」と書き加えて完成です！


直線１本の場合
直線２本の場合


◆関連項目
不等式の表す領域の考え方
図形と方程式まとめ


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