◆問題
△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを三等分する点をＢに近い方からＤ，Ｅとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
ＡＢ2＋ＡＣ2＝ＡＤ2＋ＡＥ2＋４ＤＥ2
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◆解答解説
等式の証明の場合、証明したい式は必ず成り立っているはずです。
だから、とにかく計算して、「(左辺)＝(右辺)」を示せば良いです。
今回の問題では、△ＡＢＣの長さや座標も示されていないし、「辺ＢＣを三等分する点をＢに近い方からＤ，Ｅとする」という条件が与えられているので、それぞれの辺をどう表すかがポイントになります。
いろいろな解き方が考えられますが、ここでは△ＡＢＣの頂点の座標を、Ａ(ｘa，ｙa)，Ｂ(ｘb，ｙb)，Ｃ(ｘc，ｙc)とおいて考えてみます。
三等分ということは、ＢＤ＝ＤＥ＝ＤＣであり、ＤはＢＣを１：２に内分する点で、ＥはＢＣを２：１に内分する点です。
内分の公式を使えば、
Ｄ((２ｘb＋ｘc)／３，(２ｙb＋ｙc)／３)，Ｅ((ｘb＋２ｘc)／３，(ｙb＋２ｙc)／３)
と表すことができますね。
それぞれの座標を表せたので、あとは証明したい式の通りに計算するだけです。
ＡＢ2＝(ｘb－ｘa)2＋(ｙb－ｙa)2
ＡＣ2＝(ｘc－ｘa)2＋(ｙc－ｙa)2
ＡＤ2＝{(２ｘb＋ｘc)／３－ｘa}2＋{(２ｙb＋ｙc)／３－ｙa}2
＝(２ｘb＋ｘc－３ｘa)2／９＋(２ｙb＋ｙc－３ｙa)2／９
ＡＥ2＝{(ｘb＋２ｘc)／３－ｘa}2＋{(ｙb＋２ｙc)／３－ｙa}2
＝(２ｘb＋ｘc－３ｘa)2／９＋(ｙb＋２ｙc－３ｙa)2／９
ＤＥ2＝{(ｘb＋２ｘc)／３－(２ｘb＋ｘc)／３}2＋(ｙb＋２ｙc)／３－(２ｙb＋ｙc)／３}2
＝(ｘc－ｘb)／３}2＋{(ｙc－ｙb)／３}2
計算を書くのが大変なので、ここでは省略しますが、これを計算すれば、
ＡＢ2＋ＡＣ2＝ＡＤ2＋ＡＥ2＋４ＤＥ2
であることが証明できます！(自分も一応紙に書いて計算してみました！)
◆関連項目
「式と証明」「複素数と方程式」まとめ
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ラベル：数学
